Električno polje, električna potencijalna energija, potencijal i napon

Električno polje je svojstvo prostora oko električnog naboja.
U okolini naboja [latex]Q[/latex] postoji električno polje unutar kojega naboj djeluje elektrostatskom silom na električki nabijena tijela ili čestice.
Električno polje je dio prostora u kojemu se javlja električna sila. Naboj [latex]Q[/latex] je izvor tog polja.
Za određivanje električnog polja u nekoj točki prostora u tu točku dovodi se probni naboj [latex]Q_0[/latex]. Probni naboj je maleno tijelo gotovo sažeto u točku – materijalna točka, s pozitivnim nabojem. Ako na naboj koji miruje tada djeluje električna sila, onda u toj točki prostora postoji električno polje.
Jakost električnog polja [latex]E[/latex] definira se omjerom električne sile i naboja [latex]Q_0[/latex] na koji to polje u promatranoj točki djeluje:

[latex]\vec{E}=\dfrac{\vec{F}}{Q_0}[/latex][latex]\hspace{1cm}{(1)}[/latex]

Jakost električnog polja ne ovisi o probnom naboju [latex]Q_0[/latex], već samo o mjestu u prostoru gdje se taj naboj nalazi.
Moguće jedinice za jakost električnog polja su: iz definicije [latex]NC^{-1}[/latex], SI jedinica Vm^-1.
Jakost električnog polja je vektorska fizikalna veličina, kao i električna sila. Smjer jakosti električnog polja definira se smjerom električne sile kojom to polje djeluje na pozitivni električni naboj.

Električno polje točkastog naboja

Dovede li se u točku T na udaljenosti [latex]r[/latex] od naboja [latex]Q[/latex] probni naboj [latex]Q_0[/latex], na njega će djelovati sila:

[latex]F=\dfrac{1}{4πε}\dfrac{QQ_0}{r^2}[/latex][latex]\hspace{1cm}{(2)}[/latex]

Jakost električnog polja je:

[latex]\vec{E}=\dfrac{\vec{F}}{Q_0}[/latex]

Odnosno

[latex]E=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon}\cdot\dfrac{Q}{r^2}\hspace{1cm}{(3)}[/latex]

Smjer vektora [latex]E[/latex] ovisi o predznaku naboja [latex]Q[/latex]. Pozitivni naboj polje je usmjereno radijalno od naboja, a za negativni radijalno prema naboju.

Primjer 1.:

Dva pozitivno nabijena točkasta tijela svako naboja +1 μC, nalaze se u dva vrha jednakostraničnog trokuta duljine stranice 50 cm. Odredite iznos jakosti električnog polja u trećem vrhu (T) ovog trokuta.

[latex]Q_1=Q_2=1\mu C=10^{-6}C[/latex]

[latex]r=50\operatorname{cm}=0,5m[/latex]

[latex]\alpha=60\degree[/latex]

[latex]E=?[/latex]

______________________________________

[latex]E_1=E_2[/latex]

[latex]E_1=k\cdot\frac{Q_1}{r^2}=9\cdot10^9Nm^2C^{-2}\cdot\frac{10^{-6}C}{(0,5m)^2}\Rightarrow E_1=36000NC^{-1}[/latex]

[latex]cos\frac{\alpha}{2}=\frac{\frac{E_{uk}}{2}}{E_1}\Rightarrow E_{uk}=2E_1cos\frac{\alpha}{2}[/latex] [latex]\Rightarrow E_{uk}=2\cdot36000\frac{N}{C}\cdot\cos 30\degree[/latex]

[latex]E_{uk}=62353,8NC^{-1}[/latex]

Silnice električnog polja

To su zamišljene krivulje čije tangente u bilo kojoj točki polja leže na pravcu polja u toj točki.
Smjer tangente na silnicu daje smjer vektora jakosti električnog polja u toj točki, a gustoća silnica razmjerna je jakosti električnog polja. Kroz svaku točku prolazi samo jedna silnica. One su zatvorene krivulje i nikad se međusobno ne sijeku.
Silnice električnog polja su zamišljene linije koje daju podatak o jakosti i smjeru električnog polja. Električno polje može se zorno predočiti silnicama.
Gustoća silnica ukazuje na jakost električnog polja.
Tangenta u bilo kojoj točki silnice daje smjer vektora jakosti električnog polja.

Kroz svaku točku prolazi samo jedna silnica.
One su zatvorene krivulje.
Nikad se međusobno ne sijeku.
Izlaze iz pozitivnog, poniru u negativnom naboju.

Kod radijalnog električnog polja pozitivni naboji su izvori električnog polja, a negativni ponori. Jakost električnog polja opada s udaljenošću od naboja (gustoća silnica se smanjuje), a smjer jakosti električnog polja je u smjeru električnih silnica:

Električni dipol:

Homogeno električno polje silnice su paralelne i ekvidistantne. U svakoj točki polja jakost i smjer.

Neutralna tijela mogu se elektrizirati dodirom pri čemu se naboj neposredno premješta s jednog tijela na drugo, ili elektrostatskom indukcijom (električna influencija) pri čemu se naboj razdvaja posredovanjem električnog polja. Kod influencije dolazi do razdvajanja naboja u vodiču.

Električna potencijalna energija

Uobičajeno se nula električne potencijalne energije odabire u nekoj točki jako daleko od nabijenih tijela. Drugi izbor, nula je električna potencijalna energija nabijenih tijela u tlu. Električni naboj površine Zemlje nije točno nula, nego malo negativan.
Ako se slobodni naboj [latex]Q_0[/latex] dovede u neku točku prostora u kojoj postoji električno polje, polje će djelovati na naboj električnom silom i pomicati ga u smjeru sile. Električna sila obavljat će rad. S druge strane, naboj u električnom polju ima i određenu električnu potencijalnu energiju na račun koje može obaviti rad.
Nabijeno tijelo koje se giba u električnom polju mijenja svoju električnu potencijalnu energiju. Ako se pod utjecajem neke vanjske sile neko pozitivno nabijeno tijelo giba u smjeru suprotnom smjeru električnog polja, električna potencijalna energija tijela se povećava. Tijelo se giba s mjesta na kojemu je električna potencijalna energija manja prema mjestu gdje je ona veća. Rad koji vanjska sila na tijelo vrši pri tom pomicanju pretvara se u električnu potencijalnu energiju tijela.
Jednostavnosti radi, razmatrat će se pomicanje naboja u homogenom električnom polju. Ono se može dobiti unutar dvije paralelne nabijene ploče, A i B. Neka je A nabijena pozitivnim, a B istom količinom negativnog naboja.

Treba izračunati rad pri pomicanju probnog pozitivnog naboja [latex]Q_0[/latex] po silnici polja, s negativne ploče B na pozitivnu ploču A (u smjeru suprotnom smjeru sile).

Na [latex]Q_0[/latex] djeluje električna sila:

[latex]F_{el}=Q_0E[/latex]

Da bi se [latex]Q_0[/latex] pomicao suprotno smjeru te sile, mora se djelovati silom ([latex]F_v[/latex]) jednakog iznosa, a suprotnog smjera električnoj sili. Pritom je obavljen rad:

[latex]W_{BA}=Fs[/latex]

[latex]W_{BA}=Q_0Ed[/latex]

Rad električne sile je istog iznosa, no negativan je: [latex]-Q_0Ed[/latex], jer je tada električna sila suprotna smjeru pomaka. Potencijalna energija naboja se pritom promijenila (povećala). Na ploči A pozitivni naboj ima veću potencijalnu energiju. Razlika energije prije i poslije pomaka:

[latex]\Delta{E}_p=E_{pA}–E_{pB}=W_{BA}[/latex]

[latex]\Delta{E}_p=Q_0Ed[/latex]

Obrnuto, ako pozitivni naboj krene s pozitivne ploče A, polje na njega djeluje električnom silom i pomicat će ga u smjeru te sile. Naboj se ubrzava, povećava mu se kinetička energija na račun smanjenja potencijalne energije, a što je upravo jednako radu [latex]Q_0Ed[/latex] koji pritom obavlja električna sila.
Ako se pri pomaku naboja [latex]Q_0[/latex] u homogenom polju jakosti E iz točke B u točku A obavi rad [latex]W_{BA}[/latex] , potencijalna energija se promijenila za iznos tog rada.

Potencijalna energija dvaju točkasta naboja

Može se pokazati da, promjena potencijalne energije, kad se naboj [latex]Q_0[/latex] pomakne u polju točkastog naboja [latex]Q[/latex] iz točke A u točku B (npr. pri udaljavanju) iznosi:

[latex]\Delta{E}_p=E_{pB}-E_{pA}[/latex]

[latex]\Delta E_p=\dfrac{QQ_0}{4\pi\varepsilon}(\dfrac{1}{r_B}-\dfrac{1}{r_A})[/latex]

Ako su naboji suprotnog predznaka, potencijalna se energija povećava kad se naboji udaljavaju, a smanjuje kad se približavaju.
Dogovor je da je potencijalna energija dvaju beskonačno dalekih naboja ([latex]r_B=\infty[/latex]) jednaka nuli, tada potencijalna energija dvaju točkastih naboja [latex]Q[/latex] i[latex]Q_0[/latex] udaljenih za [latex]r_A=r[/latex] iznosi:

[latex]\Delta E_p=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon}\dfrac{QQ_0}{r}[/latex][latex]\hspace{1cm}{(4)}[/latex]

Ovisnost potencijalne energije dvaju točkastih naboja o njihovoj udaljenosti ako su naboji istog i suprotnog predznaka prikazana je na slici:

Električni potencijal

Kod elektriciteta obično se služimo fizikalnom veličinom potencijal (razlika potencijala).
Potencijal neke točke A električnog polja prema definiciji iskazuje se omjerom potencijalne energije u toj točki polja i naboja dovedenog u tu točku:

[latex]\varphi_A=\dfrac{E_{pA}}{Q_0}[/latex]

Pri pomaku [latex]Q_0[/latex] iz A u B:

[latex]\Delta{E}_P=Q_0(\varphi_{B}-\varphi_{A})=W_{AB}[/latex][latex]\hspace{1cm}{(5)}[/latex]

Uz pretpostavku da je potencijal beskonačno daleke točke polja jednak nuli, može se reći:
Potencijal u danoj točki električnog polja jednak je radu koji je potrebno obaviti da bi se jedinični pozitivni naboj prenio iz beskonačnosti u tu točku.
Potencijal je skalar, jakost električnog polja [latex]E[/latex] vektorska veličina, a oboje opisuju električno polje u prostoru.

Potencijal točkastog naboja

Potencijal u točki polja koja se nalazi na udaljenosti [latex]r[/latex] od točkastog naboja [latex]Q[/latex] koji uzrokuje polje bit će

[latex]\varphi=k\dfrac{Q}r[/latex]

[latex]\varphi=\dfrac{1}{4πε}\cdot\dfrac{Q}r[/latex]

uz uvjet [latex]\phi(r\rightarrow\infty)=0[/latex]

Primjer 2.:

Tri jednaka izolirana pozitivna naboja od 10 nC nalaze se svaki u jednom od vrhova jednakostraničnog trokuta kako je prikazano na slici. Duljina stranice trokuta je 20 cm. Odredite ukupni električni potencijal u središtu trokuta (točka T).

[latex]r_A=r_B=r_C=r[/latex]

[latex]r=\frac{2}{3}\cdot(\frac{\sqrt[]{3}}{2}a)\Rightarrow r=\frac{\sqrt[]{3}}{3}a[/latex]

[latex]\varphi_A=\varphi_B=\varphi_C[/latex]

[latex]\varphi_A=k\cdot\frac{Q_A}{r_A}\Rightarrow\varphi_A=k\cdot\frac{Q}{r}\Rightarrow\varphi_A=k\cdot\frac{Q}{\frac{\sqrt[]{3}}{3}a}\Rightarrow\varphi_A=3k\cdot\frac{Q}{\sqrt[]{3}a}\Rightarrow\varphi_A=\sqrt{3}\cdot k\cdot\frac{Q}{a}[/latex]

[latex]\varphi_{uk}=\varphi_A+\varphi_B+\varphi_C\Rightarrow\varphi_{uk}=3\cdot\varphi_A[/latex]

[latex]\varphi_{uk}=3\cdot\sqrt[]{3}\cdot k\cdot\frac{Q}{a}[/latex]

[latex]\varphi_{uk}=3\cdot\sqrt[]{3}\cdot9\cdot10^9Nm^2C^{-2}\cdot\frac{10^{-8}C}{0,2m}[/latex]

[latex]\varphi_{uk}=2338,3V[/latex]

Ekvipotencijalne plohe

Potencijal se zorno može prikazati ekvipotencijalnim plohama: to je skup točaka jednakog potencijala u prostoru [latex](\varphi=konst.)[/latex]. Ekvipotencijalne plohe točkastog naboja su koncentrične kugline plohe (sfere), a suprotno nabijene metalne ploče međusobno paralelne ravnine. Silnice su uvijek okomite ne ekvipotencijalne plohe.
Ako se ne gleda prostorno već ravninski, to nisu plohe već krivulje (koncentrične kružnice i ekvidistantni pravci):

silnice su okomite na ekvipotencijalne plohe

Napon

Razlika potencijala zove se napon. Napon između točaka A i B u električnom polju:

[latex]U_{BA}=\varphi_B-\varphi_A[/latex]

S obzirom na to da je razlika potencijala jednaka radu obavljenom kad se premjesti naboj iz točke A u B:

[latex]U_{BA}=\dfrac{E_{pB}-E_{pA}}{Q_0}[/latex]

[latex]U_{BA}=\dfrac{W_{pB}}{Q_0}[/latex]

Rad [latex]W_{AB}[/latex] potreban je za prijenos naboja [latex]Q_0[/latex] iz točke A u B el. polja kroz razliku potencijala (napon) [latex]U[/latex].

[latex]W_{AB}=Q_0U_{BA}\rightarrow U=\dfrac{W}Q[/latex]

Rad potreban da bi se elektron pomaknuo za razliku potencijala 1 V zove se elektronvolt (eV). Elementarni naboj iznosi: [latex]\text{e}=1.6\cdot10^{-19}\text{C}[/latex].
Vrijedi: [latex]1\text{eV}=1.6\cdot{10}^{-19}\text{J}[/latex]

Veza napona i jakosti polja

Napon:

[latex]U=\dfrac{W}{Q_0}[/latex]

Supstitucijom

[latex]U=\dfrac{Q_0 Ed}{Q_0}[/latex]

Jakost električnog polja:

[latex]E=\dfrac{U}d[/latex][latex]\hspace{1cm}{(6)}[/latex]