Izmjenična struja i napon

Za vrijeme vrtnje strujne petlje u magnetskom polju na njezinim se krajevima inducira elektromotorni napon koji se u vremenu mijenja. Ako se zanemari unutarnji otpor izvora može se elektromotorni napon zamijeniti naponom izvora. Pri okretanju se mijenja kut između vektora površine i vektora magnetske indukcije a samim time se mijenja i magnetski tok.

Na taj način dobivamo izmjeničnu struju i napon. Oni, za razliku od istosmjerne struje i napona u pravilnim vremenskim razmacima mijenjaju smjer.

[latex]u(t)=U_0sin\omega{t}[/latex][latex]\hspace{1cm}{(1)}[/latex]

[latex]i(t)=I_0sin\omega{t}[/latex][latex]\hspace{1cm}{(2)}[/latex]

u(t) i i(t) su trenutne vrijednosti , U₀ i I₀ su maksimalne vrijednosti, a ω je kružna frekvencija

[latex]\omega=2\pi f[/latex]

Trenutne vrijednosti struje i napona se stalno mijenjaju, pa njihova srednja vrijednost u vremenu je jednaka nuli. U praksi međutim mi mjerimo efektivne vrijednosti struje i napona. Efektivna vrijednost izmjenične struje definira se kao vrijednost koju bi imala ona istosmjerna struja stalne jakosti koja bi u određenom vodiču proizvela jednaki toplinski učinak kao i ta izmjenična struja.

Izrazi koji efektivne vrijednosti struje i napona s maksimalnim vrijednostima tih veličina su:

[latex]I_{ef}=\dfrac{I_0}{\sqrt{2}}[/latex][latex]\hspace{1cm}{(3)}[/latex]

[latex]U_{ef}=\dfrac{U_0}{\sqrt{2}}[/latex][latex]\hspace{1cm}{(4)}[/latex]

RLC krug i otpor u krugu izmjenične struje

U krugu izmjenične struje postoje dvije skupine otpora:
- omski otpor R
- reaktivni otpori, a koji mogu biti kapacitivni Rc i induktivni RL

Ohmski otpor

Ako je u krugu izmjenične struje trošilo omskog otpora R, jakost struje se u svakom trenutku može izračunati po Ohmovu zakonu:

[latex]i=\dfrac{u}{R}=\dfrac{U_0sin\omega{t}} {R}=I_0sin\omega t[/latex][latex]\hspace{1cm}{(5)}[/latex]

Ako se umjesto trenutnih vrijednosti uzimaju efektivne vrijednosti, Ohmov zakon poprima oblik (formalno kao za istosmjernu struju):

[latex]I=\dfrac{U}{R}[/latex]

Induktivni otpor

Ako je na izvor izmjeničnog napona spojena zavojnica induktiviteta L i zanemarivog omskog otpora, zavojnica pruža prolasku struje određeni otpor. Taj otpor je uzrokovan samoindukcijom koja nastaje u zavojnici zbog stalne promjene izmjenične struje i naziva se induktivni otpor R_L.

Induktivni je otpor proporcionalan induktivitetu zavojnice i frekvenciji izmjenične struje:

[latex]R_L=L\omega[/latex][latex]\hspace{1cm}{(6)}[/latex]

Kapacitivni otpor

Kada se kondenzator kapaciteta C priključi na izvor istosmjernog napona poteći će struja, kondenzator će se nabiti, struja će prestati teći i kondenzator će se nakon toga ponašati kao beskonačni otpor.
Međutim ako se kondenzator spoji na izvor izmjeničnog napona zbog stalnog mijenjanja smjera napona kondenzator se naizmjenično puni i prazni tako da će u krugu teći izmjenična struja. Za izmjeničnu struju kondenzator predstavlja konačni otpor.

Pokusi i proračuni pokazuju da je kapacitivni otpor manji što su kapacitet kondenzatora i frekvencija struje veći.

[latex]R_C=\dfrac{1}{ωC}[/latex][latex]\hspace{1cm}{(7)}[/latex]

RLC krug i impedancija

RCL krug je serijski spoj omskog otpora, induktivnog otpora (zavojnica) i kapacitivnog otpora (kondenzator) u krugu izmjenične struje.

Na omskom otporu napon je u fazi sa strujom, na induktivnom otporu napon prethodi struji za 90°, a na kapacitivnom otporu napona zaostaje za strujom za 90° (prikazano na slici RCL krug).

Ovi otpori se ne mogu jednostavno algebarski zbrojiti jer naponi i struje kod zavojnice i kondenzatora nisu u fazi. Otpori se zbrajaju se vektorski. Najjednostavniji je način nacrtati vektorski dijagram za napone ili za otpore.

Vektorski dijagrami za RCL-krug:

Ukupni otpor u krugu izmjenične struje nazivamo impedancija.
Impedancija RLC kruga računa se po formuli:

[latex]Z=\sqrt{(R^2+(R_L-R_C)^2}[/latex]

[latex]Z=\sqrt{(R^2+(L\omega-\dfrac{1}{\omega C})^2}[/latex]

Jakost izmjenične struje u serijskom RCL-krugu dana je izrazom:

[latex]I=\dfrac{U}Z=\dfrac{U}{\sqrt{(R^2+(R_L-R_C)^2}}[/latex][latex]\hspace{1cm}{(8)}[/latex]

Primjer 1.:

U krugu izmjenične struje serijski su spojeni otpornik otpora 90 Ω, kondenzator kapaciteta 10 μF i zavojnica induktiviteta 1,3 H. Maksimalna vrijednost izmjeničnog napona je 100 V i frekvencija 50 Hz. Napišite jednadžbu trenutne vrijednosti struje ako je početna faza struje jednaka nuli.

Rješenje:

U_m=100V, f= 50 Hz, R= 90Ω, L=1,3 H, C=10 μF, φ₀=0°

i(t)=?

[latex]I_m=\frac{U_m}{Z}=\frac{U_m}{\sqrt[]{R^2+(2\pi fL-\frac{1}{2\pi fC})^2}}[/latex]

[latex]I_m=\frac{100V}{\sqrt[]{(90\Omega)^2+(2\pi\cdot50s^{-1}\cdot1,3H-\frac{1}{2\pi\cdot50s^{-1}\cdot10\cdot10^{-6}H})^2}}[/latex]

[latex]I_m=0,79A[/latex]

[latex]i\mleft(t\mright)=I_m\cdot\sin (2\pi f\cdot t)[/latex]

[latex]i(t)=0,79A\cdot\sin \mleft(100\pi\cdot t\mright)[/latex]

Napomena. sve veličine su u SI sustavu uvrštene, nedostaje u argumentu funkcije sinus jedinica s^-1, radi preglednosti.

Električna rezonancija

Impedanciju u strujnom krugu možemo promijeniti mijenjanjem frekvencije struje, jer o njoj ovise kapacitivni i induktivni otpor. Iz formule (8) vidimo da će impedancija biti najmanja kada su ti otpori jednaki, tj [latex]R_L=R_C[/latex]. U tom slučaju strujnim krugom teče najjača struja koja je u fazi s naponom, a prijenos energije između izvora i strujnog kruga je najveći, došlo je do rezonancije.
Iz uvjeta da je [latex]R_L=R_C[/latex], možemo dobiti izraz za frekvenciju pri kojoj dolazi do rezonancije u strujnom krugu izmjenične struje:

[latex]f=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{ LC}}[/latex][latex]\hspace{1cm}{(9)}[/latex]

Snaga izmjenične struje

Vrijednost napona i struje kroz trošilo spojeno na izmjenični napon stalno se vremenski mijenjaju. Tako se mijenja i snaga te se stoga razmatra srednja snaga.
Ako je trošilo omski otpor, napon i struja su u fazi, srednja vrijednost snage je:

[latex]P=U_{ef}I_{ef}[/latex][latex]\hspace{1cm}{(10)}[/latex]

Ako se u strujnom krugu nalaze uz omski i reaktivni otpor (induktivni ili kapacitivni) napon i struja nisu u fazi. Ako je u krugu samo kondenzator, struja teče, kondenzator se puni i prazni, ali ta struja ne obavlja rad, niti proizvodi toplinu. Ovakva struja naziva se jalovom strujom. Slično je i sa idealnom zavojnicom priključenoj na izmjenični napon.

Transformatori

Transformator je uređaji koji omogućuje mijenjanje izmjeničnog napona, a time i mijenjanje struje. Transformator radi na načelu međusobne elektromagnetske indukcije dviju zavojnica.
Općenito, transformator se sastoji od dviju zavojnica namotanih na željeznu jezgru. Na primarnu zavojnicu sa [latex]N_1[/latex] se priključi izmjenični napon [latex]U_1[/latex] koji daje izmjeničnu struju kroz primarnu zavojnicu. Ona daje promjenjivo magnetsko polje u željeznoj jezgri. Vremenska promjena tog polja uzrokuje izmjenični napon [latex]U_2[/latex] u sekundarnoj zavojnici.

Zbog izmjenične struje u prvoj zavojnici, u drugoj će se inducirati napon.
Naponi u zavojnici se odnose kao brojevi zavoja.

[latex]\dfrac{U_1}{U_2}=\dfrac{N_1}{N_2}[/latex]

U idealnom transformatoru snaga utrošena na otporu priključenom na sekundaru jednaka je snazi koja se iz izvora dovodi primaru (zanemaruju se gubitci):

[latex]P_1=P_2[/latex]

[latex]U_1{I_1}=U_2I_2[/latex]

Naponi na zavojnicama se odnose obrnuto kao jakosti struje. Koliko puta se pri istoj snazi poveća napon toliko puta se smanji jakost struje.
Omjer transformacija:

[latex]\dfrac{I_1}{I_2}=\dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac{N_2}{N_1}[/latex][latex]\hspace{1cm}{(11)}[/latex]

Kod idealnog transformatora je jakost struje kroz zavojnicu obrnuto proporcionalna i naponu i broju zavoja.
Koliko puta je broj namotaja sekundara manji no primara, toliko puta će napon na sekundaru biti manji. Isto tako toliko puta je jakost struja u sekundarnom krugu veća.