Algebarski razlomci

Razlomak koji u brojniku i nazivniku ima algebarske izraze zove se algebarski razlomak. Algebarski razlomak možemo skratiti ukoliko brojnik i nazivnik imaju zajednički faktor. Vidjet ćemo koji su im faktori zajednički ako i brojnik i nazivnik rastavimo na faktore.

Skratimo zadane razlomke.

a) [latex]\frac{4x}{x^2+x}[/latex]

b) [latex]\frac{x^3+y^3}{x+y}[/latex]

c) [latex]\frac{2x+4}{x^2+4x+4}[/latex]

Rješenje

a) Faktorizirajmo nazivnik.

[latex]\frac{4x}{x(x+1)}[/latex]

Sada vidimo da je zajednički faktor brojnika i nazivnika [latex]x[/latex] pa ga možemo pokratiti.

[latex]\frac{4}{x+1}[/latex]

b) Faktorizirajmo brojnik.

[latex]\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x+y}[/latex]

Sada vidimo da je zajednički faktor brojnika i nazivnika [latex]x+y[/latex] pa ga možemo pokratiti.

[latex]x^2-xy+y^2[/latex]

c) Faktorizirajmo i brojnik i nazivnik.

[latex]\frac{2(x+2)}{(x+2)^2}[/latex]

Sada vidimo da je zajednički faktor brojnika i nazivnika [latex]x+2[/latex] pa ga možemo pokratiti.

[latex]\frac{2}{x+2}[/latex]

Algebarske razlomke množimo tako da brojnik pomnožimo brojnikom, a nazivnik nazivnikom.

Dijeljenje algebarskih razlomaka svodimo na množenje recipročnom vrijednošću djelitelja.

a) Pomnožimo.

[latex]\frac{x-1}{x^2+4x+4}\cdot\frac{x+2}{x^2-1}[/latex]

b) Podijelimo.

[latex]\frac{4-a^2}{6}:\frac{a-2}{3}[/latex]

Rješenje

a) Faktorizirajmo prvo brojnike i nazivnike obaju razlomaka.

[latex]\frac{x-1}{(x+2)^2}\cdot\frac{x+2}{(x+1)(x-1)}[/latex]

Nakon kraćenja zajedničkih faktora imamo:

[latex]\frac{1}{x+2}\cdot\frac{1}{x+1}=[/latex]

[latex]=\frac{1}{(x+2)(x+1)}[/latex].

b) Dijeljenje svodimo na množenje.

[latex]\frac{4-a^2}{6}\cdot\frac{3}{a-2}[/latex]

Faktorizirajmo brojnike i nazivnike obaju razlomaka.

[latex]\frac{(2-a)(2+a)}{6}\cdot\frac{3}{a-2}[/latex]

Nakon kraćenja zajedničkih faktora imamo:

[latex]\frac{-(2+a)}{2}\cdot\frac{1}{1}=[/latex]

[latex]=-\frac{2+a}{2}[/latex].

a) Zbrojimo algebarske razlomke.

[latex]\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}[/latex]

b) Oduzmimo algebarske razlomke.

[latex]\frac{3}{x+y}-\frac{4}{y}[/latex]

Rješenje

a) Proširimo prvi razlomak.

[latex]\frac{3\cdot x}{x\cdot x}+\frac{4}{x^2}=[/latex]

[latex]=\frac{3x}{x^2}+\frac{4}{x^2}[/latex]

Zbrojimo dobivene razlomke istog nazivnika.

[latex]\frac{3x+4}{x^2}[/latex]

b) Proširimo oba razlomka do zajedničkog nazivnika.

[latex]\frac{3\cdot y}{(x+y)\cdot y}-\frac{4 \cdot (x+y)}{y \cdot (x+y)}=[/latex]

[latex]=\frac{3y}{y(x+y)}-\frac{4x+4y}{y(x+y)}[/latex]

Oduzmimo dobivene razlomke istog nazivnika.

[latex]\frac{3y-(4x+4y)}{y(x+y)}=[/latex]

[latex]=\frac{3y-4x-4y}{y(x+y)}[/latex]

[latex]=\frac{-4x-y}{y(x+y)}[/latex]

Pogledajmo jedan primjer složenijeg računa s algebarskim razlomcima.

Izračunajmo.

[latex]\frac{a+6}{a^2-9} : \left(\frac{a}{a-3}-\frac{a+4}{a+3}\right)[/latex]

Rješenje

[latex]\frac{a+6}{a^2-9} : \left(\frac{a}{a-3}-\frac{a+4}{a+3}\right)=[/latex]

[latex]=\frac{a+6}{(a-3)(a+3)} : \left(\frac{a(a+3)}{(a-3)(a+3)}-\frac{(a+4)(a-3)}{(a+3)(a-3)}\right)[/latex]

[latex]=\frac{a+6}{(a-3)(a+3)} : \frac{a(a+3)-(a+4)(a-3)}{(a+3)(a-3)}[/latex]

[latex]=\frac{a+6}{(a-3)(a+3)} : \frac{a^2+3a-a^2+3a-4a+12}{(a+3)(a-3)}[/latex]

[latex]=\frac{a+6}{(a-3)(a+3)} : \frac{2a+12}{(a+3)(a-3)}[/latex]

[latex]=\frac{a+6}{(a-3)(a+3)} : \frac{2(a+6)}{(a+3)(a-3)}[/latex]

[latex]=\frac{a+6}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{(a+3)(a-3)}{2(a+6)}[/latex]

[latex]=\frac{1}{2}[/latex]