Sukladnost i karakteristične točke trokuta, površina trokuta

Izračunajmo polumjer trokutu upisane kružnice ako mu je površina [latex]48\;\text{cm}^2[/latex], a opseg [latex]36\;\text{cm}[/latex].

Rješenje

Površinu trokuta možemo izračunati po formuli [latex]P=sr[/latex].

[latex]s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{O}{2}=\frac{36}{2}=18[/latex]

Polumjer trokutu upisane kružnice izračunamo iz formule za površinu trokuta.

[latex]48=18\cdot r[/latex]

[latex]r=\frac{8}{3}\;\text{cm}[/latex]

Tri klupe na dječjem igralištu međusobno su udaljene [latex]15\;\text{m}[/latex], [latex]29\;\text{m}[/latex] i [latex]36\;\text{m}[/latex]. Na kojoj udaljenosti od klupa treba postaviti tobogan da bude jednako udaljen od svake klupe?

Rješenje

Tri klupe čine vrhove trokuta. Tražena udaljenost je duljina polumjera trokutu opisane kružnice [latex]R[/latex].

Izračunamo površinu trokuta.

[latex]P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}[/latex]

[latex]\;\;\;\;=\sqrt{40\cdot4 \cdot11 \cdot25}[/latex]

[latex]\;\;\;\;=20\sqrt{110}\;\text{m}^2[/latex].

[latex]P=\frac{abc}{4R}[/latex]

[latex]20\sqrt{110}=\frac{36\cdot29 \cdot15}{4R}[/latex]

[latex]R=18.66[/latex] m

Površina trokuta iznosi [latex]15\;\text{cm}^2[/latex]. Duljine stranica jesu [latex]a,b[/latex] i [latex]c[/latex] i vrijedi:

[latex]ab=30\;\text{cm}^2[/latex]
[latex]bc=48\;\text{cm}^2[/latex]
[latex]ac=40\;\text{cm}^2[/latex].

Koliki je polumjer kružnice opisane tom trokutu?

Rješenje

Množenjem [latex]ab=30\;\text{cm}^2[/latex], [latex]bc=48\;\text{cm}^2[/latex] i [latex]ac=40\;\text{cm}^2[/latex] slijedi:

[latex](abc)^2=30\cdot48\cdot40[/latex]

[latex](abc)^2=57 \ 600[/latex]

[latex]abc=240[/latex].

Traženi polumjer izračunamo iz formule za površinu trokuta.

[latex]P=\frac{abc}{4R}[/latex].

[latex]15=\frac{240}{4R}[/latex]

[latex]R=4\;\text{cm}[/latex]

Odredimo duljine visina u trokutu kojem su duljine stranica [latex]11\;\text{cm}[/latex], [latex]13\;\text{cm}[/latex] i [latex]20\;\text{cm}[/latex].

Rješenje

Izračunamo površinu trokuta pomoću Heronove formule.

[latex]P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},s=\frac{a+b+c}{2}[/latex]

[latex]P=\sqrt{22\cdot11 \cdot9 \cdot2}=66[/latex]

[latex]P=\frac{av_a}{2}[/latex]

[latex]66=\frac{11v_a}{2}[/latex]

[latex] v_a=12[/latex] cm

[latex]P=\frac{bv_b}{2}[/latex]

[latex]66=\frac{13v_b}{2}[/latex]

[latex]v_b=\frac{132}{13}[/latex] cm

[latex]P=\frac{cv_c}{2}[/latex]

[latex]66=\frac{20v_c}{2}[/latex]

[latex]v_c=\frac{33}{5}[/latex] cm

U pravokutnom trokutu simetrala šiljastog kuta dijeli nasuprotnu katetu u omjeru [latex]4\colon3[/latex]. Ako je hipotenuza duljine [latex]18[/latex], izračunaj duljinu odsječka simetrale toga kuta unutar trokuta. (Uputa: U zapisu rješenja ostavite korijen.)

Rješenje

Simetrala kuta dijeli stranicu u omjeru preostalih stranica trokuta.

Imamo [latex]18\colon a=4\colon3[/latex] iz čega slijedi

[latex]a=\frac{27}{2}[/latex].

Primjenom Pitagorinog poučka izračunamo duljinu druge katete.

[latex]b=\sqrt{18^2-(\frac{27}{2})^2}[/latex]

[latex]b=\frac{9\sqrt{7}}{2}[/latex]

Izračunamo [latex]x[/latex]. 

[latex]x=\frac{3}{4+3}b[/latex]

[latex]x=\frac{3}{7}b[/latex]

[latex]x=\frac{27\sqrt{7}}{14}[/latex]

[latex]s^2=a^2+x^2[/latex]

[latex]s= \frac{27\sqrt{14}}{7}[/latex]