Sličnost trokuta, Euklidov poučak

Iz mementa

Za dva trokuta [latex]\Delta{ABC}[/latex] i [latex]\Delta{A_1B_1C_1}[/latex] kažemo da su slični ako su im odgovarajući kutovi sukladni i odgovarajuće stranice proporcionalne.

Koeficijent proporcionalnosti [latex]\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}=\frac{c}{c_1}=k[/latex].

K-K poučak Trokuti su slični ako se podudaraju u dvama kutovima.

S-S-S poučak Trokuti su slični ako su duljine odgovarajućih stranica proporcionalne.

S-K-S poučak Trokuti su slični ako se podudaraju u jednom kutu i ako su duljine stranica koje zatvaraju taj kut proporcionalne.

Odnos površina i opsega sličnih trokuta: [latex]\frac{O}{O_1}=k,\frac{P}{P_1}=k^2[/latex]

Euklidov poučak: [latex]a=\sqrt{pc},b=\sqrt{qc},v=\sqrt{pq}[/latex].

Primjer 1

Jesu li trokuti čije su duljine stranica [latex]2.5,4,5[/latex] i [latex]20,10,16[/latex] slični?

Rješenje

Da bi trokuti bili slični mora vrijediti: [latex]a\colon a_1=b\colon b_1=c\colon c_1[/latex].

[latex]\frac{2.5}{10}=\frac{4}{16}=\frac{5}{20}=k[/latex]

Sva su tri omjera [latex]\frac{1}{4}[/latex] pa su trokuti slični po SSS poučku.

Zadatak 1

Primjer 2

Jesu li trokuti sa slike [latex]\Delta{ABC}[/latex] i [latex]\Delta{ADE}[/latex] slični?

Rješenje

Zadani trokuti imaju zajednički kut [latex]\alpha[/latex].

Postavimo razmjer odgovarajućim stranicama: [latex]\frac{6}{12}=\frac{7}{14}=k=\frac{1}{2}[/latex].

Slijedi da su trokuti slični po SKS poučku.

 

Zadatak 2

Primjer 3

Stranice trokuta imaju duljinu [latex]6\;\text{cm}[/latex], [latex]11\;\text{cm}[/latex] i [latex]13\;\text{cm}[/latex]. Koliki su opseg i površina sličnog trokuta ako mu je najkraća stranica duljine [latex]2\;\text{cm}[/latex]?

Rješenje

Opseg trokuta sa duljima stranica [latex]6\;\text{cm}[/latex], [latex]11\;\text{cm}[/latex] i [latex]13\;\text{cm}[/latex] iznosi [latex]O=a+b+c=30\;\text{cm}[/latex].

[latex]\frac{O_1}{O}=k [/latex]

[latex] O_1=O \cdot k[/latex]

Uz pomoć najkraćih stranica odredimo [latex]k[/latex]:

[latex]k=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}[/latex]

[latex]O_1=\frac{1}{3}\cdot30=10\;\text{cm}[/latex] 

Površinu trokuta sa duljima stranica [latex]6\;\text{cm}[/latex], [latex]11\;\text{cm}[/latex] i [latex]13\;\text{cm}[/latex] izračunamo pomoću Heronove formule.

[latex]P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},s=\frac{O}{2}[/latex]

[latex]s=15\;\text{cm}[/latex] pa je

[latex]P=\sqrt{15(15-6)(15-11)(15-13)}=6\sqrt{30}\;\text{cm}^2[/latex]

[latex]\frac{P_1}{P}=k^2 [/latex]

[latex]P_1=\frac{2\sqrt{30}}{3}\;\text{cm}^2[/latex]

Zadatak 3

Primjer 4

Paralelne stranice trapeza odnose se kao [latex]5\colon1[/latex], a površina mu je [latex]360\;\text{cm}^2[/latex]. Neparalelne stranice trapeza produljimo do presjeka. Izračunajte površinu većeg nastalog trokuta.

Rješenje

Nastali trokuti su slični po KK poučku pa [latex]\frac{a}{a_1}=\frac{5}{1}=k[/latex]

[latex]\frac{P_{ABE}}{P_{CED}}=k^2[/latex]

[latex]P_{CED}=\frac{P_{ABE}}{25}[/latex]

[latex]P_{ABE}=P_{ABCD}+P_{CED}[/latex]

[latex]P_{ABE}=360+\frac{P_{ABE}}{25}[/latex]

[latex]P_{ABE}=375\;\text{cm}^2[/latex]

Zadatak 4

Primjer 5

U pravokutnom je trokutu kateta [latex]b=6\;\text{cm}[/latex], a odsječak [latex]q=3.6\;\text{cm}[/latex]. Izračunajmo duljinu druge katete i hipotenuze tog trokuta.

Rješenje

Po Euklidovom poučku imamo: [latex]b=\sqrt{qc}[/latex]

[latex]b^2=qc[/latex]

[latex]c=10\;\text{cm}[/latex] 

Primjenom Pitagorinog poučka izračunamo duljinu stranice [latex]a[/latex].

[latex]a^2=c^2-b^2[/latex]

[latex]a=8\;\text{cm}[/latex]

Zadatak 5

Sličnost trokuta, Euklidov poučak

Procijenite svoje znanje