Kružnica, krug, kružni luk, kružni isječak i poučak o obodnom i središnjem kutu

Iz mementa:

Kružnica je skup svih točaka ravnine jednako udaljenih od jedne čvrste točke te ravnine.

Krug je dio ravnine omeđen kružnicom. 

Tetiva kružnice (kruga) je dužina koja spaja dvije točke na kružnici.

Kružni luk je dio kružnice omeđen njezinim dvjema točkama.

Kružni isječak je dio kruga omeđen s dva polumjera i kružnim lukom.

Opseg kruga polumjera [latex]r[/latex] jednak je [latex]O=2r\pi[/latex].

Površina kruga polumjera [latex]r[/latex] iznosi [latex]P=r^2\pi[/latex].

Središnjem kutu od [latex]\alpha[/latex] stupnjeva kružnice polumjera [latex]r[/latex] pripada kružni luk duljine [latex]l=\frac{r\pi\alpha}{180°}[/latex].

Površina kružnog isječka koji pripada središnjem kutu od [latex]\alpha[/latex] stupnjeva jednaka je [latex]P_i=\frac{r^2 \pi\alpha}{360°}=\frac{r\cdot l}{2}[/latex], gdje je [latex]r[/latex] polumjer kruga.

Obodni kut je kut kojemu je vrh na kružnici, a kraci mu sijeku kružnicu.

Središnji kut je kut kojemu je vrh u središtu kružnice.

Središnji je kut dvostruko veći od pripadnog obodnog kuta. 

Svi obodni kutovi nad istim kružnim lukom su sukladni.

Obodni kut nad promjerom je pravi kut.

Pravac koji dodiruje kružnicu u jednoj točki naziva se tangenta kružnice.

Primjer 1

Zadatak 1

Primjer 2

Odredimo polumjer kruga i središnji kut ako je duljina pripadnog luka [latex]3\;\text{cm}[/latex], a površina kružnog isječka [latex]5\;\text{cm}^2[/latex].

Rješenje

Iz formule [latex]P_i=\frac{r\cdot l}{2}[/latex] izrazimo [latex]r=\frac{2P_i}{l}[/latex].

[latex]r=\frac{10}{3}\;\text{cm}[/latex]

Izračunamo kut:

[latex]\alpha=\frac{360\cdot P_i}{r^2 \pi}[/latex]

[latex]\alpha=51\degree34^{\prime}[/latex].

Zadatak 2

Primjer 3

Odredimo središnji i obodni kut nad istim lukom ako je njihova razlika [latex]\frac{5\pi}{6}[/latex].

Rješenje

Središnji kut je veći pa imamo [latex]\beta-\alpha=\frac{5\pi}{6}[/latex] i [latex]\beta=2\alpha[/latex].

[latex]2\alpha-\alpha=\alpha=\frac{5\pi}{6}[/latex]

[latex]\beta=\frac{5\pi}{3}[/latex]

Zadatak 3

Primjer 4

Rješenje

[latex]\beta+2\cdot105\degree=360\degree[/latex]

[latex]\beta=150\degree[/latex]

[latex]\alpha_1=\alpha_2=\frac{\beta}{2}=75\degree[/latex]

Zadatak 4

Primjer 5

Rješenje

Polumjer je okomit na tangentu pa je [latex]D_1ST[/latex] pravokutni trokut.

Po Pitagorinom poučku: 

[latex]x^2=12^2+5^2[/latex]

[latex]x=13[/latex]

Vrijedi [latex]|TD_1|=|TD_2|[/latex] pa je [latex]y=12[/latex].

Zadatak 5

Kružnica, krug, kružni luk, kružni isječak i poučak o obodnome i središnjemu kutu

Procijenite svoje znanje