Potencije racionalnog eksponenta

Izračunajmo.

a)   [latex]8^{\frac{2}{3}}[/latex]

b)   [latex](-27)^{\frac{2}{3}}[/latex]

c)   [latex]25^{-\frac{3}{2}}[/latex]

d)   [latex](-9)^{\frac{1}{2}}[/latex]

Rješenje

a) [latex]8^{\frac{2}{3}}=\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^2[/latex]

[latex]=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2[/latex]

[latex]=2^2[/latex]

[latex]=4[/latex]

b) [latex](-27)^{\frac{2}{3}}=[/latex]

   [latex]=\left(\sqrt[3]{-27}\right)^2[/latex]

   [latex]=(-3)^2[/latex]

   [latex]=9[/latex]

c) [latex]25^{-\frac{3}{2}}=[/latex]

[latex]=\frac{1}{25^{\frac{3}{2}}}[/latex]

[latex]=\frac{1}{\left(\sqrt[]{25}\right)^3}[/latex]

[latex]=\frac{1}{5^3}[/latex]

[latex]=\frac{1}{125}[/latex]

d) [latex](-9)^{\frac{1}{2}}=\sqrt[]{-9}[/latex]

[latex]\sqrt[]{-9}[/latex]  nije realan broj. Potencija nije definirana.

Pojednostavimo sljedeće izraze (uz pretpostavku da su [latex]x[/latex], [latex]y[/latex], [latex]a[/latex] i [latex]b[/latex] pozitivni).

a)   [latex]x^{\frac{2}{3}}x^{\frac{4}{3}}[/latex]

b)   [latex]\left(x^4y^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{4}}[/latex]

c)   [latex]\left(\frac{a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{2}{3}}}{a^2}\right)^3[/latex]

Rješenje

a) [latex]x^{\frac{2}{3}}x^{\frac{4}{3}}=x^{\frac{2}{3}+\frac{4}{3}}[/latex]

[latex]=x^{\frac{6}{3}}=x^2[/latex]

b) [latex](x^4y^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}}=\left(x^4\right)^{\frac{1}{4}}\left(y^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{4}}=xy^{\frac{1}{8}}[/latex]

c) [latex]\left(\frac{a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{2}{3}}}{a^2}\right)^3=[/latex]

[latex]=\frac{\left(a^{\frac{3}{2}}\right)^3\left(b^{\frac{2}{3}}\right)^3}{\left(a^2\right)^3}[/latex]

[latex]=\frac{a^{\frac{9}{2}}b^2}{a^6}[/latex]

[latex]=a^{-\frac{3}{2}}b^2[/latex]

[latex]=\frac{b^2}{a^{\frac{3}{2}}}[/latex]