Prizme

Iz mementa

Prizma je poliedar koji ima dvije paralelne i sukladne baze, a ostale su mu strane paralelogrami. Paralelne i sukladne strane nazivamo bazama (osnovkama) dok sve ostale strane zajedno čine pobočje prizme.

Visina prizme jednaka je udaljenosti gornje i donje baze prizme. Kod uspravne prizme pobočke su pravokutnici okomiti na ravninu baze.

Prizma je pravilna ako je uspravna i ako joj je baza pravilan mnogokut.

Volumen (obujam) prizme računamo po formuli:

[latex]V=B\cdot h[/latex].

Oplošje prizme računamo po formuli: [latex]O=2B+P[/latex].

Kocka je uspravna četverostrana prizma kojoj su svi bridovi iste duljine. Volumen kocke: [latex]V=a^3[/latex]. Oplošje kocke: [latex]O=6a^2[/latex]. Prostorna dijagonala kocke: 

[latex]D=a\sqrt{3}[/latex].

Kvadar je uspravna četverostrana prizma kojoj je baza pravokutnik. Volumen: [latex]V=abc[/latex]. Oplošje: [latex]O=2(ab+ac+bc)[/latex]. Prostorna dijagonala kvadra: [latex]D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}[/latex].

Ako je baza paralelogram, prizmu nazivamo paralelepiped.

Primjer 1

Primjer 2

Rješenje

Osjenčani je dio pravokutnik površine [latex]P=a\cdot b[/latex].

Stranicu [latex]b[/latex] izračunamo iz pravokutnog trokuta:

[latex]\cos {30\degree}=\frac{2\sqrt{12}}{b}[/latex]

[latex]b=\frac{2\sqrt{12}}{\cos{30°}}[/latex]

Uvrštavanjem u formulu za površinu dobijemo: 

[latex]P=2\sqrt{12}\cdot\frac{2\sqrt{12}}{\cos{30°}}[/latex]

[latex]P=32\sqrt{3}\;\text{cm}^2[/latex] 

Zadatak 1

Primjer 3

Duljine bridova kvadra odnose se kao [latex]4\colon5\colon6[/latex]. Izračunajte kut koji prostorna dijagonala zatvara s ravninom baze (u bazi su dva kraća brida) ako je volumen kvadra [latex]15 \ 000\;\text{cm}^3[/latex].

Rješenje

Iz [latex]a\colon b\colon c=4\colon5\colon6[/latex]

[latex]a=4k,b=5k,c=6k[/latex].

[latex]V=abc=120k^3[/latex]

[latex]120k^3=15000[/latex]

[latex]k^3=125[/latex]

[latex]k=5[/latex]

Duljine stranica su [latex]20\;\text{m}[/latex], [latex]25\;\text{cm}[/latex] i [latex]30\;\text{cm}[/latex].

Zadatak 2

Primjer 4

Izračunajmo volumen uspravne trostrane prizme kojoj je visina [latex]5\;\text{m}[/latex], a baza pravokutni trokut s jednom katetom [latex]12\;\text{m}[/latex] i kutom nasuprot te katete [latex]40\degree[/latex].

Baza je onda: 

[latex]B=\frac{ab}{2}[/latex]

      [latex]=\frac{a^2}{2\tg{40°}}[/latex].

Volumen je:

[latex]V=B\cdot h[/latex]

     [latex]=\frac{12^2}{2 \tg{40°}}\cdot5[/latex]

     [latex]=429.03\;\text{m}^2[/latex].

Zadatak 3

Primjer 5

Koliko su oplošje i volumen pravilne uspravne šesterostrane prizme kojoj je veći dijagonalni presjek kvadrat površine [latex]64\;\text{cm}^2[/latex]?

Izračunamo volumen i oplošje prizme:

[latex]V=B\cdot h[/latex]

     [latex]=192\sqrt{3}[/latex]

[latex]O=2B+P[/latex]

     [latex]=2\cdot24\sqrt{3}+6\cdot4\cdot8[/latex]

     [latex]=275.14\text{cm}^2[/latex].

Primjer 6

Rješenje

[latex]V=B\cdot h[/latex]

      [latex]=\frac{3}{2}a^2\sqrt{3}\cdot h[/latex]

Imamo: 

[latex]a^2=\frac{2V}{3h\sqrt{3}}[/latex]

      [latex]=144[/latex]

[latex]a=12\;\text{cm}[/latex]

 

[latex]\tg {\alpha}=\frac{h}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{3}[/latex]

[latex]\alpha=30\degree[/latex]

Zadatak 4

Prizme

Procijenite svoje znanje