Logaritamska funkcija, svojstva i graf

Iz mementa

Definicija logaritma

[latex]\log _by=x[/latex] znači isto što i [latex]b^x=y[/latex], gdje je [latex]b>0,b\neq1[/latex]

Osnovna pravila logaritmiranja

(1.) [latex]\log _b(uv)=\log _bu+\log _bv[/latex]

(2.) [latex]\log_b\left(\frac{u}{v}\right)=\log _bu-\log _bv[/latex]

(3.) [latex]\log _b(u^p)=p\cdot\log _bu[/latex]

(4.) [latex]\log _bb=1[/latex]

(5.) [latex]\log _b1=0[/latex]

Formula za promjenu baze: [latex]\log _bc=\frac{\log _ac}{\log _ab}[/latex]

Logaritamska funkcija s bazom [latex]b[/latex] realna je funkcija oblika: 

[latex]f(x)=\log _bx[/latex], gdje je [latex]b>0,b\neq1[/latex].

Primjer 1

a) Sljedeće jednakosti zapišimo uz pomoć logaritama.

1) [latex]10^3=1000[/latex]

2) [latex]2^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{4}[/latex]

3) [latex]\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\frac{9}{4}[/latex]

Rješenje

1) [latex]10^3=1000\;\;\;\Longleftrightarrow[/latex]   [latex]\log 1000=3[/latex] 

Napomena

Zbog važnosti [latex]\log _{10}[/latex] i [latex]\log _e[/latex] imaju posebna imena i oznake.

[latex]\log _{10}x=\log x[/latex] zove se dekadski logaritam

[latex]\log _ex=\ln x[/latex] zove se prirodni logaritam.

2) [latex]2^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{4}\;\;\;\Longleftrightarrow[/latex]   [latex]\log _2\sqrt[3]{4}=\frac{2}{3}[/latex]

3) [latex]\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\frac{9}{4}\;\;\;\Longleftrightarrow[/latex]   [latex]\log _{\frac{2}{3}}\frac{9}{4}=-2[/latex]

b) Odredimo [latex]x[/latex] iz zadanih jednakosti.

1) [latex]\log _832=x[/latex]

2) [latex]\log _9x=-\frac{3}{2}[/latex]

3) [latex]\log _x\frac{4}{9}=2[/latex]

Rješenje

1) [latex]\log _832=x\;\;\;\Longleftrightarrow[/latex]    [latex]8^x=32[/latex]

    [latex](2^3)^x=2^5\;\;\;\;\;\Rightarrow[/latex]    [latex]2^{3x}=2^5[/latex]

 

Napomena

Potencije jednakih baza jednake su ako su im eksponenti jednaki.

 

    [latex]3x=5\;\;\;\Rightarrow[/latex]   [latex] x=\frac{5}{3}[/latex]

2) [latex]\log _9x=-\frac{3}{2}\;\;\;\Longleftrightarrow[/latex]    [latex]9^{-\frac{3}{2}}=x[/latex]

    [latex]x=(3^2)^{-\frac{3}{2}}=3^{-3}=\frac{1}{27}[/latex]

3) [latex]\log _x\frac{4}{9}=2\;\;\;\Longleftrightarrow[/latex]    [latex] x^2=\frac{4}{9}[/latex]   [latex]x=\frac{2}{3}[/latex]

Zadatak 1

Primjer 2

a) Uz pomoć [latex]\log _35[/latex] izrazimo zadane izraze.

1) [latex]\log _345[/latex]

2) [latex]\log _3\left(\frac{5}{27}\right)[/latex]

3) [latex]\log _3125[/latex]

Rješenje

1) [latex]\log _345=\log _3(9\cdot5)[/latex]

       [latex]=\log _39+\log _35[/latex]

       [latex]=\log _33^2+\log _35[/latex]

       [latex]=2+\log _35[/latex]

2) [latex]\log _3\left(\frac{5}{27}\right)[/latex][latex]=\log _35-\log _327[/latex]

[latex]=\log _33-\log _33^3[/latex]

[latex]=\log _35-3[/latex]

3) [latex]\log _3125=\log _{3_{}}5^3=3\log _35[/latex] 

b) Izrazimo kao zbroj i razliku logaritama (bez eksponenata).

[latex]\log _p\left(\frac{a^4\sqrt[]{b}}{c^6d^3}\right)[/latex]

Rješenje

[latex]\log _p\left(\frac{a^4\sqrt[]{b}}{c^6d^3}\right)[/latex][latex]=\log _p(a^4\sqrt[]{b})-\log _p(c^6d^3)[/latex]

[latex]=\log _pa^4+\log _pb^{\frac{1}{2}}-(\log _pc^4+\log _pd^3)[/latex]

[latex]=4\log _pa+\frac{1}{2}\log _pb-6\log _pc-3\log _pd[/latex]

c) Izrazimo kao jedan logaritam.

[latex]5\log _bu-4\log _bv+\frac{1}{2}\log _bp-\frac{2}{3}\log _br[/latex]

Rješenje

[latex]5\log _bu-4\log _bv+\frac{1}{2}\log _bp-\frac{2}{3}\log _br=[/latex]

[latex]=5\log _bu+\frac{1}{2}\log _bp-\left(4\log _bv+\frac{2}{3}\log _br\right)[/latex]

[latex]=\log _bu^5+\log _bp^{\frac{1}{2}}-(\log _bv^4+\log _br^{\frac{2}{3}})[/latex]

[latex]=\log _bu^5\cdot\sqrt[]{p}-\log _bv^4\cdot\sqrt[3]{r^2}=\log _b\frac{u^5\sqrt[]{p}}{v^4\sqrt[3]{r^2}}[/latex]

Zadatak 2

Napomena

Uz pomoć formule za promjenu baze možemo izvesti i pravilo:

[latex]\log _{b^k}x=\frac{1}{k}\log _bx[/latex].

Primjer 3

a) Pojednostavimo     [latex]\log _2x+\log _4x+\log _{\frac{1}{2}}x[/latex].

 

Rješenje

[latex]\log _2x+\log _4x+\log _{\frac{1}{2}}x=\log _2x+\log _{2^2}x+\log _{2^{-1}}x[/latex]

[latex]=\log _2x+\frac{1}{2}\log _2x-\log _2x[/latex]

[latex]=\frac{1}{2}\log _2x[/latex]

b) Odredimo [latex]x[/latex] iz jednakosti.

[latex]\log _6x=\log _{36}\sqrt[3]{a^4}+\log _6\sqrt{a}[/latex]

Rješenje

[latex]\log _6x=\log _{36}\sqrt[3]{a^4}+\log _6\sqrt[3]{a}[/latex]

[latex]=\log _{6^2}a^{\frac{4}{2}}+\log _6a^{\frac{1}{3}}[/latex]

[latex]=\frac{1}{2}\log _6a^{\frac{4}{3}}+\log _6a^{\frac{1}{3}}[/latex]

[latex]=\log _6a^{\frac{2}{3}}+\log _6a^{\frac{1}{2}}[/latex]

[latex]=\log _6a^{\frac{2}{3}}\cdot a^{\frac{1}{3}}[/latex]

[latex]=\log _6a[/latex][latex]\;\;\;\Rightarrow\;\;\; x=a[/latex]

c) Ako je [latex]\log _26=k[/latex], koliko je [latex]\log _{36}54[/latex]?

Rješenje

[latex]\log _{36}54=\frac{\log_254}{\log_236}[/latex]

   [latex]=\frac{\log_2\frac{216}{4}}{\log_26^2}[/latex]

   [latex]=\frac{\log _2216-\log _24}{2\log ^{}_26}[/latex]

   [latex]=\frac{\log _26^3-\log _22^2}{2\log _26}[/latex]

   [latex]=\frac{3\log _26-2\log _22}{2\log _26}[/latex]

   [latex]=\frac{3k-2}{2k}[/latex]

Zadatak 3

Osnovna svojstva logaritamske funkcije

(1.) Funkcija [latex]f\left(x\right)=\log _bx[/latex]

 raste za [latex]b>1[/latex]

 i pada za [latex]0<b<1[/latex].

Dakle, funkcija [latex]f\left(x\right)=\log _bx[/latex] je injektivna.

(2.) Domena funkcije [latex]f\left(x\right)=\log _bx[/latex] je [latex]\text{\textbf{\textit{R}}}^{\text{\textbf{\textit{+}}}}[/latex], a slika cijeli skup [latex]\text{\textbf{\textit{R}}}[/latex].

(3.) Graf funkcije [latex]f\left(x\right)=\log _bx[/latex] siječe os [latex]x[/latex] u točki [latex](1,0)[/latex].

(4.) Graf funkcije [latex]f(x)=\log _bx[/latex] asimptotski se približava osi [latex]y[/latex].

Primjer 4

a) Zadana je funkcija [latex]f(x)=\log (x-1)[/latex]. Odredimo:

1) [latex]f\left(\frac{3}{2}\right)[/latex]

2) domenu funkcije

3) skup vrijednosti (sliku) funkcije

4) [latex]x[/latex] za koji je vrijednost funkcije [latex]2[/latex].

Rješenje

1) [latex]f\left(\frac{3}{2}\right)=\log \left(\frac{3}{2}-1\right)[/latex]

[latex]=\log \frac{1}{2}[/latex]

[latex]=-\log 2[/latex]

[latex]=-0.301[/latex]

2) Logaritam je definiran za pozitivne realne brojeve. Dakle,  

     [latex]x-1>0\;\;\;\Rightarrow\;\;\; x>1[/latex]. Domena funkcije je [latex]\left<1,\infty\right>[/latex].

3) Slika funkcije je cijeli skup [latex]\text{\textbf{\textit{R}}}[/latex].

4) [latex]f(x)=2\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\log (x-1)=2[/latex]

  [latex]\Rightarrow \;\;\; x-1=100[/latex]

  [latex]\Rightarrow\;\;\; x=101[/latex]

    

b) Za zadanu funkciju [latex]f(x)=\log _{\frac{\pi}{4}}x[/latex] poredajmo sljedeće brojeve od najmanjeg do najvećeg:

[latex]f(1),f\left(\frac{1}{3}\right),f(3),f\left(\frac{6}{7}\right),f(11)[/latex].

Rješenje

Baza funkcije je [latex]\frac{\pi}{4}<1[/latex] pa funkcija pada. Znači najmanja vrijednost funkcije je za najveći [latex]x[/latex].

[latex]f(11)<f(3)<f(1)<f\left(\frac{6}{7}\right)<f\left(\frac{1}{3}\right)[/latex]

Rješenje

Graf funkcije prolazi točkom [latex](3,0)[/latex]. 

[latex]f(3)=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\log _3(3+c)=0[/latex]

   [latex]\Rightarrow\;\;\;3+c=1[/latex]

   [latex]\Rightarrow\;\;\; c=-2[/latex]

 

Zamijetimo!

Graf funkcije [latex]f(x)=\log _b(x+c)[/latex] dobiva se pomakom grafa funkcije [latex]f(x)=\log _bx[/latex] za [latex]\lvert{c}\rvert[/latex] ulijevo ako je [latex]c>0[/latex] ili udesno ako je [latex]c<0[/latex]. 

Rješenje

Sa slike očitamo da graf sadrži točku [latex](1,-2)[/latex]. 

[latex]f(1)=-2\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\log _{\frac{1}{3}}1+c=-2[/latex]

[latex]\Rightarrow\;\;\;0+c=-2[/latex]

[latex]\Rightarrow\;\;\;c=-2[/latex]

 

Zamijetimo!

Graf funkcije [latex]f(x)=\log _bx+c[/latex] dobiva se pomakom grafa funkcije [latex]f(x)=\log _bx[/latex] za [latex]\lvert{c}\rvert[/latex] prema gore ako je [latex]c>0[/latex] ili prema dole ako je [latex]c<0[/latex].

Zadatak 4

Logaritamska funkcija, svojstva i graf

Procijenite svoje znanje