Primjena eksponencijalne funkcije

Složeni kamatni račun

Ako u banku uložimo početni iznos (glavnicu) [latex]G_0[/latex] uz godišnju kamatnu stopu [latex]p[/latex] i ako se kamata dodaje glavnici na kraju svake godine, onda ćemo nakon [latex]t[/latex] godina imati sljedeći iznos:

[latex]G=G_0(1+p)^t[/latex].

Ako se kamata upisuje nakon svakog mjeseca (12 puta godišnje) ili svakog dana (365 puta godišnje) onda ćemo nakon [latex]t[/latex] godina imati sljedeće iznose:

[latex]G=G_0\left(1+\frac{p}{12}\right)^{12t}[/latex],  odnosno [latex]G=G_0\left(1+\frac{p}{365}\right)^{365t}[/latex].

Općenito, ako se kamata upisuje [latex]n[/latex] puta godišnje, onda ćemo nakon [latex]t[/latex] godina imati sljedeći iznos:

[latex]G=G_0\left(1+\frac{p}{n}\right)^{nt}[/latex].

Ako kamatu pripisujeme u sve manjim razmacima onda taj iznos računamo formulom:

[latex]G=G_0e^{pt}[/latex].

Primjer 1

Uložimo u banku [latex]G_0=10 \ 000\;\text{€}[/latex] uz godišnju kamatnu stopu od [latex]12\;\%[/latex]. Koliki ćemo iznos imati nakon jedne godine ako se kamate upisuje:

a) godišnje

b) mjesečno

c) dnevno

d) svaki sat?

Rješenje

a) [latex]G=10 \ 000(1+0.12)[/latex] 

   [latex]=10 \ 000\cdot1.12[/latex]

   [latex]=11 \ 200 \;\text{€}[/latex] 

b) [latex]G=10 \ 000\left(1+\frac{0.12}{12}\right)^{12}[/latex]

   [latex]=10 \ 000\cdot(1.01)^{12}[/latex]

   [latex]=11 \ 268.25\;\text{€}[/latex]

 

c) [latex]G=10 \ 000\left(1+\frac{0.12}{365}\right)^{365}[/latex]

   [latex]=10 \ 000\cdot(1.00033)^{365}[/latex]

   [latex]=11 \ 274.75\;\text{€}[/latex]

d) [latex]G=10 \ 000\left(1+\frac{0.12}{8760}\right)^{8760}[/latex]

   [latex]=10 \ 000\cdot(1.0000137)^{8760}[/latex]

   [latex]=11 \ 274.95\;\text{€}[/latex]

     ([latex]365\cdot24=8760\;\text{h}[/latex])

Zadatak 1

Eksponencijalni rast i pad

Ako se neka veličina V mijenja u vremenu [latex]t[/latex] po zakonu [latex]V=V_0e^{kt}[/latex], kažemo da ona eksponencijalno raste za [latex]k>0[/latex] ili eksponencijalno pada za [latex]k<0[/latex].

Zadatak 2

Raspad radioaktivne tvari također se odvija po eksponencijalnom zakonu. Masa M radioaktivne tvari koja je preostala nakon [latex]t[/latex] godina dana je formulom: 

[latex]M=M_0e^{kt}[/latex],

gdje je [latex]M_0[/latex] početna masa radioaktivne tvari a [latex]k[/latex] keoficijent radioaktivnosti za određenu tvar. Ovdje se radi o eksponencijalno padu pa je [latex]k<0[/latex].

Vrijeme poluraspada neke (radioaktivne) tvari jest vrijeme potrebno da se raspadne polovina početne mase tvari.

Vrijeme poluraspada računamo računamo uz pomoć jednadžbe:

[latex]\frac{M_0}{2}=M_0e^{kt}[/latex]

[latex]\frac{1}{2}=e^{kt}[/latex]

[latex]kt=\ln \left(\frac{1}{2}\right)[/latex].

[latex]t=\frac{1}{k}\ln \left(\frac{1}{2}\right)[/latex].

Primjer 2

Komad kosti sadrži [latex]10\;\%[/latex] uobičajene količine ugljika-[latex]14[/latex] u živoj kosti. Ako je za ugljik-[latex]14[/latex]vrijeme poluraspada [latex]5730[/latex] godina, koliko je stara ta kost?

Rješenje

Nakon [latex]t=5730[/latex] godina od početne mase [latex]M_0[/latex] ugljika-[latex]14[/latex] ostat će masa [latex]\frac{M_0}{2}[/latex]:

[latex]\frac{M_0}{2}=M_0e^{k\cdot5730}[/latex].

Zatim slijedi:

[latex]\frac{1}{2}=e^{k5730}[/latex]

[latex]k=\frac{1}{5730}\ln \left(\frac{1}{2}\right)[/latex]

[latex]k=-1.21\cdot10^{-4}[/latex]

 

Dakle, ugljik-[latex]14[/latex] raspada se po sljedećemu eksponencijalnom zakonu:

[latex]M=M_0e^{(-1.21\cdot10^{-4})t}[/latex].

Zanima nas koliko je vremena prošlo do danas, kad je od početne mase [latex]M_0[/latex] ostalo [latex]M=0.1M_0[/latex]

[latex]0.1M_0=M_0e^{(-1.21\cdot10^{-4})t}[/latex]

[latex]0.1=e^{(-1.21\cdot10^{-4})t}[/latex]

[latex]\ln 0.1=(-1.21\cdot10^{-4})t[/latex]

[latex]t=\frac{\ln (0.1)}{-1.21\cdot10^{-4}}\approx19 \ 030.^{}[/latex]

Organizam je živio prije [latex] 19 \ 030 [/latex] godina.

 

Zadatak 3

Primjena eksponencijalne funkcije

Procijenite svoje znanje