Primjena logaritamske funkcije
Primjer 1
Sjaj zvijezde koji opažamo na Zemlji zovemo njezinom prividnom magnitudom [latex]m[/latex]. Apsolutnom magnitudom [latex]M[/latex] zovemo sjaja zvijezde koju bi ona imala da je [latex]10[/latex] parseka (tj. [latex]32.6[/latex] svjetlosnih godina) udaljena od Zemlje. Veza između apsolutne i prividne magnitude dana je formulom [latex]M=m+5-5\log d[/latex], gdje je [latex]d[/latex] stvarna udaljenost zvijezde od Zemlje.
Odredimo:
a) apsolutnu magnitudu zvijezde Sjevernjače koja je od Zemlje udaljena [latex]430[/latex] svjetlosnih godina, a prividna magnituda joj je [latex]1.985[/latex].
b) Udaljenost Siriusa (najsjajnije zvijezde na nebu) od Zemlje ako mu je prividna magnituda [latex]-1.46[/latex], a apsolutna [latex]1.42[/latex].
Rješenje
a) [latex]m=1.985[/latex], [latex]d=430[/latex] svjetlosnih godina [latex]\approx131.9[/latex] parseka
[latex]M=1.985+5-5\log (131.9)\approx-3.62[/latex].
b) [latex]m=-1.46[/latex], [latex]M=1.42[/latex]
[latex]\log d=\frac{m+5-M}{5}=\frac{-1.46+5-1.42}{5}=0.424[/latex]
[latex]d=10^{0.424}\approx2.6546[/latex] parseka [latex]\approx8.65[/latex] svj. god.
Zadatak 1
Primjer 2
a) Odredimo [latex]pH[/latex]-vrijednost mlijeka ako je koncentracija vodikovih iona
[latex]3.97\cdot10^{-7}\;\text{mol}\;\text{dm}^{-3}[/latex] (mola po litri).
Rješenje
[latex]pH=-\log \lbrack3.97\cdot10^{-7}\rbrack[/latex]
[latex]=-\log 3.97-\log 10^{-7}[/latex]
[latex]=-\log 3.97+7[/latex]
[latex]=6.4[/latex]
b) Ako je [latex]pH[/latex] krvnog uzorka [latex]7.4[/latex], kolika je koncentracija vodikovih iona u tom uzorku?
Rješenje
[latex]pH=-\log \lbrack H^+\rbrack\Longleftrightarrow7.4=-\log \lbrack H^+\rbrack[/latex]
[latex]H^+=10^{-7.4}=10^{-0.4}\cdot10^{-7}=0.398\cdot10^{-7}=3.98\cdot10^{-8}[/latex] mol.
Primjer 3
Učenici rješavaju zadatak iz matematike. za pet minuta dvoje je učenika riješilo zadatak, a nakon osam minuta dvanaestero ih je riješilo zadatak. Ako se broj učenika koji su riješili zadatak povećava s vremenom po funkciji [latex]f(t)=5\log _2(t-a)+b[/latex], gdje su [latex]a[/latex] i [latex]b[/latex] konstante:
a) odredimo konstante [latex]a[/latex] i [latex]b[/latex]
b) koliko je učenika riješilo zadatak za dvanaest minuta
c) nakon koliko će vremena svih dvadeset dvoje učenika riješiti zadatak?
Rješenje
a) Poznato nam je da je nakon [latex]5[/latex] minuta dvoje učenika riješilo zadataka, a nakon [latex]8[/latex] minuta [latex]12[/latex] učenika je riješilo zadatak. Uvrstimo li to u formulu dobijemo sustav:
[latex]\left\{\begin{array}{rll}2=5\log_2(5-a)+b & \\ 12=5\log_2(8-a)+b & \end{array}\right.[/latex]
Oduzmimo jednadžbe.
[latex]10=5\log _2(8-a)-5\log _2(5-a)2[/latex]
[latex]\log _2(8-a)-\log _2(5-a)=2[/latex]
[latex]\log _2\frac{8-a}{5-a}=2[/latex]
[latex]\frac{8-a}{5-a}=4[/latex]
[latex]a=4[/latex]
Uvrstimo u prvu jednažbu
[latex]2=5\log _2(5-4)+b[/latex]
[latex]b=2[/latex]
Tražena funkcija je [latex]f(t)=5\log _2(t-4)+2[/latex].
b) [latex]t=12[/latex]
Uvrstimo u funkciju
[latex]f(t)=5\log _2(t-4)+2[/latex]
[latex]f(12)=5\log _2(12-4)+2[/latex]
[latex]=5\cdot\log _28+2[/latex]
[latex]=5\cdot3+2[/latex]
[latex]=17[/latex]
Nakon [latex]12[/latex] minuta [latex]17[/latex] učenika je riješilo zadatak.
c) [latex]22=5\log _2(t-4)+2[/latex]
[latex]5\log _2(t-4)=20[/latex]
[latex]\log _2(t-4)=4[/latex]
[latex]t-4=2^4[/latex]
[latex]t=20[/latex]
Nakon [latex]20[/latex] minuta svi učenici će riješiti zadatak.