Graf trigonometrijskih funkcija

Odredimo sliku (skup svih vrijednosti) funkcije [latex]f(x)=-3\cos (2x-\frac{\pi}{3})-1[/latex].

Rješenje

Funkcija [latex]g(x)=\cos (2x-\frac{\pi}{3})[/latex] poprima sve vrijednosti iz intervala [latex]\lbrack-1,1\rbrack[/latex].

Amplituda funkcije [latex]h(x)=-3\cos (2x-\frac{\pi}{3})[/latex] je [latex]3[/latex] pa funkcija [latex]h[/latex] poprima sve vrijednosti iz intervala [latex]\lbrack-3,3\rbrack[/latex].

Vrijednosti funkcije [latex]f[/latex] su za [latex]1[/latex] manje jer je pomak po osi [latex]y[/latex] jednak [latex]D=-1[/latex]. Zbog toga je skup svih vrijednosti funkcije [latex]f[/latex] interval [latex]\lbrack-4,2\rbrack[/latex].

Nacrtajmo graf funkcije [latex]f(x)=-2\sin (\frac{\pi x}{3}-\pi)-1[/latex] na intervalu [latex]\lbrack-3,9\rbrack[/latex].

Rješenje

Amplituda je [latex]A=2[/latex], osnovni je period [latex]T=\frac{2\pi}{\lvert{B}\rvert}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{3}}=6[/latex].

Početak i kraj osnovnog perioda: 

[latex]\frac{\pi x}{3}-\pi=0[/latex]  [latex]\Rightarrow x_1=3[/latex], [latex]\frac{\pi x}{3}-\pi=2\pi[/latex]

[latex]\Rightarrow x_2=9[/latex].

Sredina osnovnoga perioda jest [latex]x_p=\frac{x_1+x_2}{2}=6[/latex].

[latex]A<0\Rightarrow[/latex] pa najmanju vrijednost poprima za [latex]x_m=\frac{3+6}{2}=4.5[/latex], a najveću za [latex]x_M=\frac{6+9}{2}=7.5[/latex].

Napravimo skicu osnovnoga vala sinusoide.

Odredite amplitudu, period te početak i kraj osnovnog vala zadane funkcije, nacrtajte grafove funkcija, a zatim provjerite rješenje. 

a) [latex]f(x)=4\cos (3x-\frac{\pi}{4})[/latex]

b) [latex]f(x)=\frac{1}{2}\sin (2x-\pi)-1[/latex]

c) [latex]f(x)=2\sin (3x-\frac{\pi}{3})[/latex]

d) [latex]f(x)=2\cos (\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})[/latex]

Rješenje

a) Najveća je vrijednost [latex]3[/latex], a najmanja [latex]-3[/latex] pa je amplituda jednaka [latex]A=3[/latex].

Označene su dvije susjedne nultočke [latex]\frac{3\pi}{4}[/latex] i [latex]\frac{9\pi}{4}[/latex] pa je 

[latex]\frac{T}{2}=\frac{9\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}[/latex]

[latex]\frac{T}{2}=\frac{3\pi}{2}[/latex]

[latex]T=3\pi[/latex].

b) [latex]A=3[/latex]

[latex]\frac{2\pi}{B}=3\pi\Rightarrow B=\frac{2}{3}[/latex].

[latex]f(x)=3\sin (\frac{2}{3}x+C)[/latex]. Sa slike čitamo početak osnovnoga perioda [latex]x_1=\frac{9\pi}{4}[/latex].

Kako je [latex]\frac{2}{3}x_1+C=0\Rightarrow C=-\frac{3\pi}{2}[/latex].