Limes funkcije

Iz mementa

Realni broj [latex]L[/latex] jest limes funkcije [latex]f[/latex] ako niz funkcijskih vrijednosti [latex]f(x)[/latex] teži broju [latex]L[/latex] kada [latex]x[/latex] teži broju [latex]a[/latex].

Pišemo: 

[latex]\lim _{x\rightarrow a}f(x)=L[/latex]

Limes funkcije [latex]f[/latex] u točki [latex]a[/latex] je [latex]\infty[/latex] ako niz funkcijskih vrijednosti teži u [latex]\infty[/latex].

Pišemo:

[latex]\lim _{x\rightarrow a}f(x)=\infty[/latex]

Limes [latex]\lim _{x\rightarrow a}f(x)[/latex] postoji ako postoji limes slijeva [latex]\lim _{x\rightarrow a^-}f(x)[/latex], limes zdesna [latex]\lim _{x\rightarrow a^+}f(x)[/latex] i ti se limesi podudaraju.

Funkcija [latex]f[/latex] neprekidna je u točki [latex]a[/latex] u kojoj je definirana ako postoji [latex]\lim _{x\rightarrow a}f(x)[/latex] i vrijedi 

[latex]\lim _{x\rightarrow a}f(x)=f(a)[/latex].

Elementarne funkcije (polinomi racionalne funkcije, opće potencije, eksponencijalne, logaritamske i trigonometrijske) neprekidne su u svakoj točki u kojoj su definirane, što znači da u svakoj točki u kojoj su definirane imaju limes koji je jednak vrijednosti funkcije u toj točki.

Pravila za računanje limesa

Neka je [latex]\lim _{x\rightarrow a}f(x)=L[/latex] i [latex]\lim _{x\rightarrow a}g(x)=K[/latex], tada vrijedi:

1. [latex]\lim _{x\rightarrow a}\lbrack f(x)\pm g(x)\rbrack=L+K[/latex]

2. [latex]\lim _{x\rightarrow a}\lbrack f(x)\cdot g(x)\rbrack=L\cdot K[/latex]

3. [latex]\lim _{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{K},\enspace K\neq0[/latex]

4. [latex]\lim _{x\rightarrow a}f(x)^{g(x)}=L^K,\enspace L\neq0[/latex]

Primjer 1

Rješenje

Kada se brojevi [latex]x[/latex] s lijeve strane broja [latex]3[/latex] približavaju broju [latex]3[/latex], vrijednosti funkcije teže broju [latex]1[/latex], a kada se brojevi [latex]x[/latex] s desne strane broja [latex]3[/latex] približavaju broju [latex]3[/latex], vrijednosti funkcije teže broju [latex]2[/latex].

Zadana funkcija nema limes kada [latex]x[/latex] teži u [latex]3[/latex] jer su limesi s lijeva i desna različiti.

Zadatak 1

Primjer 2

Odredimo zadane limese.

a) [latex]\lim _{x\rightarrow-2}\frac{x^2-4}{x+2}[/latex]

Rješenje

Funkcija nije definirana za [latex]x=-2[/latex], ali primijetimo da se razlomak može pojednostavniti pa limes računamo na sljedeći način:

[latex]\lim _{x\rightarrow-2}\frac{x^2-4}{x+2}=\lim _{x\rightarrow-2}\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}[/latex]

[latex]=\lim _{x\rightarrow-2}(x-2)=-4[/latex].

b) [latex]\lim _{x\rightarrow2}\frac{\sqrt[]{x+2}-2}{x-2}[/latex]

Rješenje

[latex]\lim _{x\rightarrow2}\frac{\sqrt[]{x+2}-2}{x-2}=\lim _{x\rightarrow2}\frac{\sqrt[]{x+2}-2}{x-2}\cdot\frac{\sqrt[]{x+2}+2}{\sqrt[]{x+2}+2}[/latex]

[latex]=\lim _{x\rightarrow2}\frac{x+2-4}{(x-2)\sqrt[]{x+2}+2}[/latex]

[latex]=\lim _{x\rightarrow2}\frac{x-2}{(x-2)\sqrt[]{x+2}+2}[/latex]

[latex]=\lim _{x\rightarrow2}\frac{1}{\sqrt[]{x+2}+2}[/latex]

[latex]=\lim _{x\rightarrow2}\frac{1}{\sqrt[]{2+2}+2}=\frac{1}{4}[/latex]

c) [latex]\lim _{x\rightarrow\infty}\frac{2x^2-1}{x^2+x+2}[/latex]

Rješenje

Slično kao kod limesa niza, dijelit ćemo i brojnik i nazivnik s najvećom potencijom te pri tome koristiti [latex]\lim _{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0[/latex].

[latex]\lim _{x\rightarrow\infty}\frac{2x^2-1}{x^2+x+2}=\lim _{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{2x^2-1}{x^2}}{\frac{x^2+x+2}{x^2}}[/latex]

[latex]=\frac{\lim_{x\rightarrow\infty}2-\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x^2}}{\lim_{x\rightarrow\infty}1+\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}+\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2}{x^2}}[/latex]

[latex]=\frac{2-0}{1+0+0}=2[/latex]

Zadatak 2

Limes funkcije

Procijenite svoje znanje