Derivacija funkcije. Pravila deriviranja.

Iz mementa

Derivacija funkcije [latex]f[/latex] u točki [latex]x\in D_f[/latex] jest broj 

[latex]\lim _{\triangle x\rightarrow0}\frac{f(x+\triangle x)-f(x)}{\triangle x}[/latex] ako taj limes postoji.

Pišemo

[latex]f^{\prime}(x)=\lim _{\triangle x\rightarrow0}\frac{f(x+\triangle x)-f(x)}{\triangle x}[/latex].

Za funkciju [latex]f[/latex] kažemo da je derivabilna u točki [latex]x[/latex] ako postoji [latex]f^{\prime}(x)[/latex].

Neka su [latex]f[/latex] i [latex]g[/latex] derivabilne funkcije i [latex]c[/latex] realan broj. Tada vrijede sljedeća pravila deriviranja:

[latex](c\cdot f)^{\prime}=c\cdot f^{\prime}[/latex] 

[latex](f\pm g)^{\prime}=f^{\prime}\pm g^{\prime}[/latex]  

[latex](f\cdot g)^{\prime}=f^{\prime}g+fg^{\prime}[/latex] 

[latex]\left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}=\frac{f^{\prime}g-fg^{\prime}}{g^2}[/latex] 

Broj [latex]f´\left(x\right)[/latex] mjeri brzinu promjene funkcije u točki [latex]x[/latex] i jednak je koeficijentu smjera tangente na graf funkcije [latex]f[/latex] u točki [latex]\left(x,f\left(x\right)\right)[/latex].

Primjer 1

a) Odredimo derivaciju funkcije [latex]f(x)=5x^7[/latex].

Rješenje

Funkcija je umnožak konstante i potencije. Primjenom pravila slijedi:

[latex]f´(x)=(5x^7)´=5\left(x^7\right)´=5\cdot7x^6=35x^6[/latex]

b) Odredimo derivaciju funkcije [latex]f(x)=x^4+x^7-x^{11}[/latex].

Rješenje

Koristimo se pravilom derivacije zbroja.

[latex]f´(x)=4x^3+7x^6-11x^{10}[/latex].

c) Odredimo derivaciju funkcije [latex]f(x)=(3x^2-11x)\frac{1}{\sqrt[]{x}}[/latex].

Rješenje

Koristimo se pravilom derivacije umnoška.

[latex]f´(x)=(3x^2-11x)´\frac{1}{\sqrt[]{x}}+(3x^2-11x)\left(\frac{1}{\sqrt[]{x}}\right)^{\prime}[/latex]

[latex]=(6x-11)\frac{1}{\sqrt[]{x}}+(3x^2-11x)\left(-\frac{1}{2\sqrt[]{x^3}}\right)[/latex]

[latex]=6\sqrt[]{x}-\frac{11}{\sqrt[]{x}}-\frac{3\sqrt[]{x}}{2}+\frac{11}{2\sqrt[]{x}}=\frac{9\sqrt[]{x}}{2}-\frac{11}{2\sqrt[]{x}}[/latex].

d) Odredimo derivaciju funkcije [latex]f(x)=\frac{\pi}{7x+4}[/latex].

Rješenje

[latex]f´(x)=\frac{(\pi)^{\prime}(7x+4)-\pi(7x+4)^{\prime}}{(7x+4)^2}[/latex]

[latex]=\frac{0\cdot(7x+4)-\pi\cdot7}{(7x+4)^2}[/latex]

[latex]=\frac{-7\pi}{(7x+4)^2}[/latex]

Zadatak 1

Derivacija funckije. Pravila deriviranja.

Procijenite svoje znanje