Tangenta i normala na graf funkcije.

a) Neka je [latex]f(x)=x^3-6x[/latex]. Odredimo jednadžbu tangente na graf funkcije u točki [latex]T_1(2,f(2))[/latex].

Rješenje

Odredimo najprije nepoznatu koordinatu točke [latex]T_1[/latex].

Uvrštavanjem [latex]x=2[/latex] dobijemo [latex]f(2)=2^3-6\cdot2=-4[/latex] pa je točka [latex]T_1(2,-4)[/latex].

Odredimo zatim koeficijent smjera tangente uz pomoć derivacije [latex]f´(x)=3x^2-6[/latex].

Koeficijent smjera je tada jednak [latex]k=f´(2)=3\cdot2^2-6=6[/latex].

Jednadžba pravca zadanom točkom i koeficijentom smjera [latex]k[/latex] je [latex]y-y_1=f^{\prime}(x_1)(x-x_1)[/latex] pa je

[latex]y+4=6(x-2)[/latex], odnosno [latex]y=6x-6[/latex].

b) Neka je [latex]f(x)=\frac{\sqrt[]{x}}{2}[/latex]. Odredimo normalu na graf funkcije [latex]f[/latex] u točki [latex]T_1(4,f(4))[/latex].

Rješenje

Okomiti pravci imaju suprotne i recipročne koeficijente smjera. Odredimo koeficijent smjera tangente u zadanoj točki.

[latex]f´(x)=\frac{1}{4\sqrt[]{x}}[/latex] pa je koeficijent smjera tangente 

[latex]k_t=f´(4)=\frac{1}{8}[/latex].

Koeficijent smjera normale je [latex]k_n=-\frac{1}{k_t}=-8[/latex], a koordinate dirališta su [latex]T_1(4,1)[/latex].

Jednadžba normale je

[latex]y-1=-8(x-4)[/latex], odnosno [latex]y=-8x+33[/latex].