Drugi korijen negativnog broja
Uvod
Prisjeti se skupova brojeva pa riješi jednadžbe na sljedećim karticama. Klikni na karticu i pogledaj rješenje.
U skupu prirodnih brojeva riješi jednadžbu
[latex]x+1=0[/latex].
[latex]x=-1[/latex]
Kako [latex]-1\notin \N [/latex] dana jednadžba nema rješenja u skupu prirodnih brojeva.
U skupu cijelih brojeva riješi jednadžbu
[latex]2x-1=0[/latex].
[latex]x=\frac{1}{2}[/latex]
Kako [latex]\frac{1}{2}\notin \Z [/latex] dana jednadžba nema rješenja u skupu cijelih brojeva.
U skupu racionalnih brojeva riješi jednadžbu
[latex]x^2-2=0[/latex].
[latex]x=\pm \sqrt{2}[/latex]
Kako [latex]\pm \sqrt{2} \notin \mathbb{Q} [/latex] dana jednadžba nema rješenja u skupu racionalnih brojeva.
U skupu realnih brojeva riješi jednadžbu
[latex]x^2+1=0[/latex].
[latex]x^2=-1[/latex]
Kako je kvadrat realnog broja uvijek pozitivan dana jednadžba nema rješenja u skupu realnih brojeva.
Vjerojatno ste primjetili da su prve tri jednadžbe rješive u skupu realnih brojeva, dok posljednja nije. Posljednja jednadžba nema rješenje zbog svojstva realnih brojeva da je kvadrat bilo kojeg realnog broja pozitivan broj. U praksi se pri rješavanju raznih problema pojavljivala upravo ova prepreka. Kako nisu željeli dopustiti da ih jedno svojstvo dijeli od jednostavnijeg rješenja, matematičati 16. stoljeća odlučili su brojevima dodati novu dimenziju. Brojeve koji kvadrirani daju negativan realan broj nazvali su imaginarni brojevi.
Najbitniji među njima je broj [latex]i[/latex], za njega vrijedi [latex]i^2=-1[/latex] a zove se imaginarna jedinica.
IMAGINARNA JEDINICA
[latex]i=\sqrt{-1}[/latex]
Imaginarni brojevi
Rješavanjem jednadžbi oblika [latex]x^2=a[/latex], gdje je $a$ negativan realan broj dobivamo sve imaginarne brojeve.
Pogledajte kako odrediti drugi korijen negativnog broja.
Zadatak 1.
Iako drugi korijen negativnog broja sada ima značenje, sve operacije s tim imaginarnim brojevima treba provoditi tek nakon što se oni zapišu u obliku [latex]bi[/latex], gdje je [latex]b \in \R[/latex].
Primjer 3.
Imajte na umu da pravila računanja s korijenima pozitivnog realnog broja ne vrijede za drugi korijen negativnog realnog broja.
Zadatak 2.
Skup kompleksnih brojeva
Odredi vrjednost izraza [latex]\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/latex] za [latex]a=1[/latex], [latex]b=2[/latex], [latex]c=3[/latex].
[latex]\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2+\sqrt{4-12}}{2}=\frac{-2+\sqrt{-8}}{2}=\frac{-2+\sqrt{8}i}{2}=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{2}=-1+\sqrt{2}i[/latex]
Kompleksan je onaj koji je sastavljen od više dijelova, složen.
Kompleksan broj dobijemo ako zbrojimo jedan realan i jedan imaginaran broj.
Kompleksni brojevi sastoje se od realne i imaginarne komponente. Klikni na žute oznake na slici i saznaj više o njima.
Zadatak 3.
Zadatak 4.
Skup svih kompleksnih brojeva označava se [latex]\mathbb{C}[/latex].
[latex]\mathbb{C} =\{{a+bi}:a,b\in \R ,i=\sqrt{-1}\}[/latex]
Jednakost kompleksnih brojeva
Možete li prepoznati jednake kompleksne brojeve? Pokušajte riješiti sljedeću spajalicu i zaključite kada su dva kompleksna broja jednaka?
Dva su kompleksna broja jednaka...
...ako imaju jednake realne komponente i jednake imaginarne komponente.
Zadatak 5.
Prouči
Kompleksni brojevi iznimno su korisni. Oni omogućavaju modeliranje kompleksnih sustava u realnom vremenu. Primjerice, amortizacija automobila na neravnoj cesti, stabilizacija svemirskih letjelica u letu, radarska kontrola leta...
Potrebne izračune moguće je napraviti i bez upotrebe kompleksnih brojeva, ali oni u tom slučaju traju predugo, ne mogu se obavljati u realnom vremenu pa postaju beskorisni.
Ako ti je teško prihvatiti imaginarne brojeve, u redu je. Prouči kako je zapadna civilizacija teško prihvatila iracionalne brojeve, a još teže nulu. Taj proces bio je dugotrajan i pun intriga.