Pojam vektora

Uvod

Jeste li se nekada našli u situaciji da slučajnog prolaznika pitate kako doći do obližnje znamenitosti?

Uputa „200 metara” ne bi vam puno pomogla bez pokazivanja u kojem smjeru treba krenuti.

Jednostavno pokazivanje rukom krije u sebi važnu informaciju, čak i ako ne razumijete jezik kojim prolaznik govori.

Zbog mogućnosti da istodobno prikažu i iznos i smjer, vektori imaju široku primjenu u fizici, tehnici i geometriji. Vektorska veličina označava se strelicom iznad simbola, npr. sila je [latex]\vec{F}[/latex], brzina [latex]\vec{v}[/latex] itd.

Usmjerena dužina

Grafički, vektor prikazujemo kao usmjerenu dužinu. To je dužina kojoj razlikujemo početak i kraj.

Duljina dužine predstavlja iznos vektora.

Strelicom označavamo kraj vektora - tako smo vektor orijentirali od njegova početka prema njegovu kraju.

Usmjerena dužina kojoj je početak u točki [latex]A[/latex], a kraj
u točki [latex]B[/latex] označava se [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] ili malim slovom iznad
kojeg je strelica, [latex]\vec{a}[/latex].

Smjer vektora

Obzirom da vektor prikazujemo kao usmjerenu dužinu, smjer usmjerene dužine predstavlja smjer predočenog vektora.

Dvije usmjerene dužine koje pripadaju istom ili usporednim pravcima imaju ISTI SMJER.
Usmjerene dužine istoga smjera nazivaju se KOLINEARNE usmjerene dužine.

Usmjerene dužine [latex]\vec{a}[/latex], [latex]\vec{b}[/latex] i [latex]\vec{c}[/latex] imaju isti smjer jer [latex]\vec{a}[/latex] i [latex]\vec{b}[/latex] pripadaju istom pravcu, a [latex]\vec{c}[/latex] pripada pravcu koji je usporedan s pravcem kojem pripadaju usmjerene dužine [latex]\vec{a}[/latex] i [latex]\vec{b}[/latex].

Orijentacija vektora

Orijentacija usmjerene dužine predstavlja orijentaciju vektora predočenog tom usmjerenom dužinom. Orijentaciju usmjerene dužine pokazuje njezina strelica.

Dvije usmjerene dužine istoga smjera mogu imati istu ili suprotnu orijentaciju. 

Usmjerene dužine [latex]\vec{a}[/latex] i [latex]\vec{c}[/latex] imaju istu orijentaciju. Strelice tih usmjerenih dužina pokazuju na istu stranu.

Usmjerene dužine [latex]\vec{a}[/latex] i [latex]\vec{b}[/latex], kao i [latex]\vec{c}[/latex] i [latex]\vec{b}[/latex] imaju suprotnu orijentaciju. Strelice tih usmjerenih dužina pokazuju na suprotne strane.

Duljina vektora

Duljina usmjerene dužine predstavlja iznos tom dužinom predočenog vektora. To je udaljenost između početne i završne točke te usmjerene dužine.

Duljina usmjerene dužine [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] jednaka je
duljini dužine [latex]\overline{AB}[/latex] i označava se [latex]|\overrightarrow{AB}|[/latex].

Duljina usmjerene dužine [latex]\vec{a}[/latex] označava se [latex]|\vec{a}|[/latex].

Vektori su veličine koje imaju iznos, smjer i orijentaciju i zato ih zorno prikazujemo kao usmjerene dužine.

(okreni karticu)

Duljina, smjer i orijentacija usmjerene dužine tada predstavljaju iznos, smjer i orijentaciju predstavljenoga vektora.

Vektor duljine [latex]0[/latex] naziva se NUL-VEKTOR i označava se [latex]\vec{0}[/latex]. Početak i kraj nul-vektora ista je točka, [latex]\overrightarrow{AA}=\vec{0}[/latex]. Nul-vektor nema orijentaciju, a prema dogovoru je paralelan sa svim vektorima.

Vektor duljine [latex]1[/latex] naziva se JEDINIČNI VEKTOR.

Jednaki vektori

Dvije usmjerene dužine predstavljaju ISTI
(JEDNAK) VEKTOR ako imaju isti smjer, istu orijentaciju i jednaku duljinu.

Istraži

Ako se usmjerena dužina pomakne u ravnini, ona i dalje predstavlja isti vektor. Svaki vektor ima beskonačno mnogo svojih predstavnika. Pri tome, početnu točku vektora možemo odabrati po volji.

Pomiči usmjerenu dužinu [latex]\vec{a}[/latex] u sljedećem interaktivnom apletu i istraži prikaz vektora u ravnini. Što primjećuješ?

Često ćemo vektore poistovjećivati s usmjerenim dužinama koje ih predstavljaju. Pa ćemo ako dvije usmjerene dužine [latex]\vec{a}[/latex] i [latex]\vec{b}[/latex] predstavljaju isti vektor pisati [latex]\vec{a}=\vec{b}[/latex].

Reći ćemo tako da su vektori jednaki ako imaju isti smjer, jednake su duljine i imaju istu orijentaciju.

U interaktivnoj vježbi na sljedećem slajdu, pomakni točku D tako da vrijedi [latex]\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}[/latex]. Provjeri svoje rješenje klikom na tipku „Provjeri”. Generiraj novi zadatak klikom na tipku „Novi zadatak”.

Vježbu možeš ponoviti više puta jer se svaki put nasumično odabire novi zadatak kao u „beskonačnoj” zbirci zadataka.

Suprotni vektori

Dva vektora jednake duljine, istoga smjera i suprotne orijentacije nazivaju se SUPROTNI VEKTORI.

Vektor suprotan vektoru [latex]\vec{a}[/latex] označavamo [latex]-\vec{a}[/latex].

Vektor [latex]\overrightarrow{BA}[/latex] suprotan je vektoru [latex]\overrightarrow{AB}[/latex],
pišemo [latex]\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}[/latex].

U interaktivnoj vježbi na sljedećem slajdu, pomakni točku D tako da vrijedi [latex]\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}[/latex]. Provjeri svoje rješenje klikom na tipku „Provjeri”. Generiraj novi zadatak klikom na tipku „Novi zadatak”.

Vježbu možeš ponoviti više puta jer se svaki put nasumično odabire novi zadatak kao u „beskonačnoj” zbirci zadataka.

Pojam vektora

Uvod

Jeste li se nekada našli u situaciji da slučajnog prolaznika pitate kako doći do obližnje znamenitosti?

Uputa „200 metara” ne bi vam puno pomogla bez pokazivanja u kojem smjeru treba krenuti.

Jednostavno pokazivanje rukom krije u sebi važnu informaciju, čak i ako ne razumijete jezik kojim prolaznik govori.

Zadatak 1.

Nauči

Zbog mogućnosti da istodobno prikažu i iznos i smjer, vektori imaju široku primjenu u fizici, tehnici i geometriji. Vektorska veličina označava se strelicom iznad simbola, npr. sila je [latex]\vec{F}[/latex], brzina [latex]\vec{v}[/latex] itd.

Grafički, vektor prikazujemo kao usmjerenu dužinu. To je dužina kojoj razlikujemo početak i kraj.

Duljina dužine predstavlja iznos vektora.

Strelicom označavamo kraj vektora - tako smo vektor orijentirali od njegova početka prema njegovu kraju.

Usmjerena dužina kojoj je početak u točki [latex]A[/latex], a kraj
u točki [latex]B[/latex] označava se [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] ili malim slovom iznad
kojeg je strelica, [latex]\vec{a}[/latex].

Zadatak 2.

Smjer vektora

Obzirom da vektor prikazujemo kao usmjerenu dužinu, smjer usmjerene dužine predstavlja smjer predočenog vektora.

Dvije usmjerene dužine koje pripadaju istom ili usporednim pravcima imaju ISTI SMJER.
Usmjerene dužine istoga smjera nazivaju se KOLINEARNE usmjerene dužine.

Usmjerene dužine [latex]\vec{a}[/latex], [latex]\vec{b}[/latex] i [latex]\vec{c}[/latex] imaju isti smjer jer [latex]\vec{a}[/latex] i [latex]\vec{b}[/latex] pripadaju istom pravcu, a [latex]\vec{c}[/latex] pripada pravcu koji je usporedan s pravcem kojem pripadaju usmjerene dužine [latex]\vec{a}[/latex] i [latex]\vec{b}[/latex].

Zadatak 3.

Orijentacija vektora

Orijentacija usmjerene dužine predstavlja orijentaciju vektora predočenog tom usmjerenom dužinom. Orijentaciju usmjerene dužine pokazuje njezina strelica.

Dvije usmjerene dužine istoga smjera mogu imati istu ili suprotnu orijentaciju. 

Usmjerene dužine [latex]\vec{a}[/latex] i [latex]\vec{c}[/latex] imaju istu orijentaciju. Strelice tih usmjerenih dužina pokazuju na istu stranu.

Usmjerene dužine [latex]\vec{a}[/latex] i [latex]\vec{b}[/latex], kao i [latex]\vec{c}[/latex] i [latex]\vec{b}[/latex] imaju suprotnu orijentaciju. Strelice tih usmjerenih dužina pokazuju na suprotne strane.

Zadatak 4.

Duljina vektora

Duljina usmjerene dužine predstavlja iznos tom dužinom predočenog vektora. To je udaljenost između početne i završne točke te usmjerene dužine.

Duljina usmjerene dužine [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] jednaka je
duljini dužine [latex]\overline{AB}[/latex] i označava se [latex]|\overrightarrow{AB}|[/latex].

Duljina usmjerene dužine [latex]\vec{a}[/latex] označava se [latex]|\vec{a}|[/latex].

Nauči

Vektor duljine [latex]0[/latex] naziva se NUL-VEKTOR i označava se [latex]\vec{0}[/latex]. Početak i kraj nul-vektora ista je točka, [latex]\overrightarrow{AA}=\vec{0}[/latex]. Nul-vektor nema orijentaciju, a prema dogovoru je paralelan sa svim vektorima.

Vektor duljine [latex]1[/latex] naziva se JEDINIČNI VEKTOR.

Zadatak 5.

Jednaki vektori

Dvije usmjerene dužine predstavljaju ISTI
(JEDNAK) VEKTOR ako imaju isti smjer, istu orijentaciju i jednaku duljinu.

Istraži

Ako se usmjerena dužina pomakne u ravnini, ona i dalje predstavlja isti vektor. Svaki vektor ima beskonačno mnogo svojih predstavnika. Pri tome, početnu točku vektora možemo odabrati po volji.

Pomiči usmjerenu dužinu [latex]\vec{a}[/latex] u sljedećem interaktivnom apletu i istraži prikaz vektora u ravnini. Što primjećuješ?

Često ćemo vektore poistovjećivati s usmjerenim dužinama koje ih predstavljaju. Pa ćemo ako dvije usmjerene dužine [latex]\vec{a}[/latex] i [latex]\vec{b}[/latex] predstavljaju isti vektor pisati [latex]\vec{a}=\vec{b}[/latex].

Reći ćemo tako da su vektori jednaki ako imaju isti smjer, jednake su duljine i imaju istu orijentaciju.

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Pomakni točku D tako da vrijedi [latex]\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}[/latex]. Provjeri svoje rješenje klikom na tipku „Provjeri”. Generiraj novi zadatak klikom na tipku „Novi zadatak”.

Vježbu možeš ponoviti više puta jer se svaki put nasumično odabire novi zadatak kao u „beskonačnoj” zbirci zadataka.

Suprotni vektori

Dva vektora jednake duljine, istoga smjera i suprotne orijentacije nazivaju se SUPROTNI VEKTORI.

Vektor suprotan vektoru [latex]\vec{a}[/latex] označavamo [latex]-\vec{a}[/latex].

Vektor [latex]\overrightarrow{BA}[/latex] suprotan je vektoru [latex]\overrightarrow{AB}[/latex],
pišemo [latex]\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}[/latex].

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Pomakni točku D tako da vrijedi [latex]\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}[/latex]. Provjeri svoje rješenje klikom na tipku „Provjeri”. Generiraj novi zadatak klikom na tipku „Novi zadatak”.

Vježbu možeš ponoviti više puta jer se svaki put nasumično odabire novi zadatak kao u „beskonačnoj” zbirci zadataka.