Učenici su u timovima trebali odraditi jedan zadatak. Učitelj ih je zamolio da na nastavu donesu konac, metar i nekoliko predmeta kružnog oblika, tanjur, poklopac, CD i sl.

 

Zatim su učenici trebali uz pomoć konca i metra izmjeriti opseg i promjer zadanih predmeta te vrijednosti upisati u tablicu. Učitelj ih je zamolio da budu što je više moguće precizniji, a on će im na kraju reći tko je bio najprecizniji u mjerenju. Još ih je zamolio da podijele opseg sa promjerom i to upišu u tablicu.

Razmisli i pokušaj odgovoriti na pitanje, kako  je učitelj znao tko je najtočnije mjerio?

Pogledaj video pa ćeš dobiti odgovore na to kako je učitelj znao tko je najbolje mjerio.

Omjer duljine kružnice o i njenog promjera 2r jest broj π ,tj. [latex]\frac{o}{2r}=\pi [/latex]

Približna vrijednost broja π jest 3.14 tj. [latex]\pi \approx 3.14[/latex]

Iz [latex]\frac{o}{2r}= \pi  [/latex], dobivamo da je [latex]o=2r \pi[/latex].

Po formuli [latex]o=2r \pi[/latex] računamo duljinu kružnice radijusa r.

Duljina kužnice tj. opseg kruga

[latex]o=2r \pi[/latex]

Izračunaj duljinu kružnice čiji je radijus duljine 4 cm.

[latex]\begin{aligned}r & =4 \ cm \\ o & =? \\ o & =2r\pi \end{aligned}[/latex]

 

[latex]\begin{aligned}r & =4 \ cm \\ o & =? \\ o & =2r\pi \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}o & =2 \cdot 4 \cdot \pi \\ o & =8\pi \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}o & \approx 8\cdot 3.14 \\ o & \approx 25.12 \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}r & =4 \ cm \\ o & =? \\ o & =2r\pi \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}o & =2 \cdot 4 \cdot \pi \\ o & =8\pi \end{aligned}[/latex]

 

Odredi duljinu kružnice, ako je promjer kruga 12 cm.

[latex]\begin{aligned}2r & =12 \ cm \\ o & =? \\ o & =2r\pi \end{aligned}[/latex]

 

[latex]\begin{aligned}2r & =12 \ cm \\ o & =? \\ o & =2r\pi \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}o & =12 \pi \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}2r & =12 \ cm \\ o & =? \\ o & =2r\pi \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}o & =12 \pi \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}o & \approx 12 \cdot 3.14 \\  o & \approx 37.68 \ cm \end{aligned}[/latex]

 

 

 

Duljina kružnog luka i veličina njemu pridruženog središnjeg kuta proporcionalne su veličine.

 Istraži kako računamo duljinu kružnog luka u ovom interaktivnom prikazu.

Duljinu kružnog luka l pridruženog središnjem kutu α kružnice radijus r je

[latex]l=r\cdot \pi \frac{\alpha }{180\degree }[/latex]

Odredi duljinu kružnog luka pridruženoga središnjem kutu veličine 90° ako je radijus kružnice 5 cm.

Zadane podatke α=90° i r=5 cm uvrstimo u formulu: [latex]l=r\cdot \pi \frac{\alpha }{180\degree }[/latex]

[latex]l=5\cdot \pi \frac{90\degree }{180\degree }[/latex]

[latex]l=5\cdot \pi \frac{1}{2}[/latex]

Zadane podatke α=90° i r=5 cm uvrstimo u formulu:[latex]l=r\cdot \pi \frac{\alpha }{180\degree }[/latex]

Zadane podatke α=90° i r=5 cm uvrstimo u formulu: [latex]l=r\cdot \pi \frac{\alpha }{180\degree }[/latex]

[latex]l=5\cdot \pi \frac{90\degree }{180\degree }[/latex]

 

Zadane podatke α=90° i r=5 cm uvrstimo u formulu: [latex]l=r\cdot \pi \frac{\alpha }{180\degree }[/latex]

[latex]l=5\cdot \pi \frac{90\degree }{180\degree }[/latex]

[latex]l=5\cdot \pi \frac{1}{2}[/latex]

[latex]l= \frac{5 \pi}{2}[/latex]

Zadane podatke α=90° i r=5 cm uvrstimo u formulu: [latex]l=r\cdot \pi \frac{\alpha }{180\degree }[/latex]

[latex]l=5\cdot \pi \frac{90\degree }{180\degree }[/latex]

[latex]l=5\cdot \pi \frac{1}{2}[/latex]

[latex]l= \frac{5 \pi}{2} cm[/latex]

[latex]l \approx 7.85 cm[/latex]

Odredi duljinu kružnog luka pridruženoga središnjem kutu veličine 90° ako je radijus kružnice 5 cm.

90° je [latex]\frac{1}{4}[/latex] od 360° pa je i duljina kružnog luka [latex]\frac{1}{4}[/latex] od duljine kružnice.

[latex]o=2r\pi[/latex]

[latex]o=2 \cdot 5 \cdot \pi[/latex]

[latex]o=10\pi[/latex]

 A duljina kružnog luka je:

[latex]l=\frac{1}{4} \cdot o[/latex]

[latex]l=\frac{1}{4} \cdot 10 \pi[/latex]

90° je [latex]\frac{1}{4}[/latex] od 360° pa je i duljina kružnog luka [latex]\frac{1}{4}[/latex] od duljine kružnice.

[latex]o=2r\pi[/latex]

[latex]o=2 \cdot 5 \cdot \pi[/latex]

[latex]o=10\pi[/latex]

 A duljina kružnog luka je:

[latex]l=\frac{1}{4} \cdot o[/latex]

 

90° je [latex]\frac{1}{4}[/latex] od 360° pa je i duljina kružnog luka [latex]\frac{1}{4}[/latex] od duljine kružnice.

[latex]o=2r\pi[/latex]

[latex]o=2 \cdot 5 \cdot \pi[/latex]

 

 

 

90° je [latex]\frac{1}{4}[/latex] od 360° pa je i duljina kružnog luka [latex]\frac{1}{4}[/latex] od duljine kružnice.

[latex]o=2r\pi[/latex]

[latex]o=2 \cdot 5 \cdot \pi[/latex]

[latex]o=10\pi[/latex]

 

90° je [latex]\frac{1}{4}[/latex] od 360° pa je i duljina kružnog luka [latex]\frac{1}{4}[/latex] od duljine kružnice.

90° je [latex]\frac{1}{4}[/latex] od 360° pa je i duljina kružnog luka [latex]\frac{1}{4}[/latex] od duljine kružnice.

[latex]o=2r\pi[/latex]

[latex]o=2 \cdot 5 \cdot \pi[/latex]

[latex]o=10\pi[/latex]

 A duljina kružnog luka je:

[latex]l=\frac{1}{4} \cdot o[/latex]

[latex]l=\frac{1}{4} \cdot 10 \pi[/latex]

[latex]l=2.5 \pi[/latex]

[latex]l\approx 7.85[/latex]

90° je [latex]\frac{1}{4}[/latex] od 360° pa je i duljina kružnog luka [latex]\frac{1}{4}[/latex] od duljine kružnice.

[latex]o=2r\pi[/latex]

[latex]o=2 \cdot 5 \cdot \pi[/latex]

[latex]o=10\pi[/latex]

 A duljina kružnog luka je:

[latex]l=\frac{1}{4} \cdot o[/latex]

[latex]l=\frac{1}{4} \cdot 10 \pi[/latex]

[latex]l=2.5 \pi[/latex]

Duljina kružnice i duljina kužnoga luka

Uvod

Učenici su u timovima trebali odraditi jedan zadatak. Učitelj ih je zamolio da na nastavu donesu konac, metar i nekoliko predmeta kružnog oblika, tanjur, poklopac, CD i sl.

 

Zatim su učenici trebali uz pomoć konca i metra izmjeriti opseg i promjer zadanih predmeta te vrijednosti upisati u tablicu. Učitelj ih je zamolio da budu što je više moguće precizniji, a on će im na kraju reći tko je bio najprecizniji u mjerenju. Još ih je zamolio da podijele opseg sa promjerom i to upišu u tablicu.

Razmisli i pokušaj odgovoriti na pitanje, kako  je učitelj znao tko je najtočnije mjerio?

Pokušajte napraviti sličan zadatak, ali u ovom interaktivnom primjeru.

Izmjeri promjer lika pa ga upiši u predviđeno polje
(dužinu Promjer možeš pomicati i prisloniti uz lik).
Zatim izmjeri opseg tog lika i upiši ga u predviđeno polje.
Tako napravi za sva tri lika.
Što primjećuješ?

Možeš pomicati klizače Polumjer, Kotrljaj i točke prikazane kružićima.

Istraži

Pogledaj video pa ćeš dobiti odgovore na to kako je učitelj znao tko je najbolje mjerio.

Nauči

Omjer duljine kružnice o i njenog promjera 2r jest broj π ,tj. [latex]\frac{o}{2r}=\pi [/latex]

Približna vrijednost broja π jest 3.14 tj. [latex]\pi \approx 3.14[/latex]

Iz [latex]\frac{o}{2r}= \pi  [/latex], dobivamo da je [latex]o=2r \pi[/latex].

Po formuli [latex]o=2r \pi[/latex] računamo duljinu kružnice radijusa r.

Budući da je opseg kruga duljina njegove kružnice, onda njegov opseg računamo po istoj formuli.

Duljina kužnice tj. opseg kruga

[latex]o=2r \pi[/latex]

Primjer 1.

Izračunaj duljinu kružnice čiji je radijus duljine 4 cm.

[latex]\begin{aligned}r & =4 \ cm \\ o & =? \\ o & =2r\pi \end{aligned}[/latex]

 

[latex]\begin{aligned}r & =4 \ cm \\ o & =? \\ o & =2r\pi \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}o & =2 \cdot 4 \cdot \pi \\ o & =8\pi \end{aligned}[/latex]

 

[latex]\begin{aligned}r & =4 \ cm \\ o & =? \\ o & =2r\pi \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}o & =2 \cdot 4 \cdot \pi \\ o & =8\pi \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}o & \approx 8\cdot 3.14 \\ o & \approx 25.12 \end{aligned}[/latex]

Primjer 2.

Odredi duljinu kružnice, ako je promjer kruga 12 cm.

[latex]\begin{aligned}2r & =12 \ cm \\ o & =? \\ o & =2r\pi \end{aligned}[/latex]

 

[latex]\begin{aligned}2r & =12 \ cm \\ o & =? \\ o & =2r\pi \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}o & =12 \pi \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}2r & =12 \ cm \\ o & =? \\ o & =2r\pi \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}o & =12 \pi \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}o & \approx 12 \cdot 3.14 \\  o & \approx 37.68 \ cm \end{aligned}[/latex]

 

 

 

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Nauči

Duljina kružnog luka i veličina njemu pridruženog središnjeg kuta proporcionalne su veličine.

 Istraži kako računamo duljinu kružnog luka u ovom interaktivnom prikazu.

Duljinu kružnog luka l pridruženog središnjem kutu α kružnice radijus r je

[latex]l=r\cdot \pi \frac{\alpha }{180\degree }[/latex]

Primjer 3.

Odredi duljinu kružnog luka pridruženoga središnjem kutu veličine 90° ako je radijus kružnice 5 cm.

Zadane podatke α=90° i r=5 cm uvrstimo u formulu:[latex]l=r\cdot \pi \frac{\alpha }{180\degree }[/latex]

Zadane podatke α=90° i r=5 cm uvrstimo u formulu: [latex]l=r\cdot \pi \frac{\alpha }{180\degree }[/latex]

[latex]l=5\cdot \pi \frac{90\degree }{180\degree }[/latex]

 

Zadane podatke α=90° i r=5 cm uvrstimo u formulu: [latex]l=r\cdot \pi \frac{\alpha }{180\degree }[/latex]

[latex]l=5\cdot \pi \frac{90\degree }{180\degree }[/latex]

[latex]l=5\cdot \pi \frac{1}{2}[/latex]

Zadane podatke α=90° i r=5 cm uvrstimo u formulu: [latex]l=r\cdot \pi \frac{\alpha }{180\degree }[/latex]

[latex]l=5\cdot \pi \frac{90\degree }{180\degree }[/latex]

[latex]l=5\cdot \pi \frac{1}{2}[/latex]

[latex]l= \frac{5 \pi}{2}[/latex]

Zadane podatke α=90° i r=5 cm uvrstimo u formulu: [latex]l=r\cdot \pi \frac{\alpha }{180\degree }[/latex]

[latex]l=5\cdot \pi \frac{90\degree }{180\degree }[/latex]

[latex]l=5\cdot \pi \frac{1}{2}[/latex]

[latex]l= \frac{5 \pi}{2} cm[/latex]

[latex]l \approx 7.85 cm[/latex]

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zadatak 5.