Linearna ovisnost
Uvod
Ako je veličina y proporcionalna veličini x, sa zadanim koeficijentom proporcionalnosti, onda kažemo da y ovisi o x.
Primjerice, površina obojenog zida ovisi o količini potrošene boje.
Znajući da s 1 litrom boje možemo obojiti 5 m2 zida, možemo izračunati koliku ćemo površinu zida obojiti s 4 litre boje.
P (obojenog zida) = 4 ∙ 5 m2 = 20 m2
Ovisnost dviju proporcionalnih veličina možemo zapisati formulom. Tada za svaku po volji odabranu vrijednost veličine x možemo izračunati vrijednost veličine y uz pomoć dane formule.
Istraži
U sljedećoj interaktivnoj vježbi istraži kako zarada od prodaje limunade ovisi o broju prodanih čaša limunade.
Vježbu možeš ponoviti više puta jer će se svaki put prikazati novi skup podataka.
Nauči
Veličina y linearno ovisi o veličini x, ako su njihove vrijednosti povezane formulom
y = a ∙ x + b
Broj a naziva se linearni koeficijent, a broj b slobodni koeficijent te linearne ovisnosti.
Zadatak 1.
Zadatak 2.
Zadatak 3.
Primjer 1. Ušteđevina
Martina je tijekom protekle godine uštedjela 1500 kuna. Odlučila je dio tog novca potrošiti za vrijeme skijanja na koje odlazi sljedećeg tjedna sa svojim roditeljima.
Namjerava novac trošiti ravnomjerno tako da svaki dan potroši isti iznos, i to 75 kuna na dan.
(okreni karticu)
a) Koliko će novca od ušteđevine ostati Martini nakon dva dana skijanja? ... A nakon pet dana?
b) Zapiši formulom izračun preostalog iznosa ušteđevine y koji će Martini ostati nakon x dana provedenih na skijanju.
Da bismo izračunali koliko će novca od ušteđevine ostati Martini nakon dva odnosno pet dana skijanja, najprije treba izračunati koliko je novca potrošila u tom vremenskom periodu. Preostali iznos ušteđevine ćemo izračunati tako da početni iznos ušteđevine umanjimo za iznos potrošenog novca.
Primjer 2. Na tržnici
Zlatko prodaje jabuke na tržnici, i to po cijeni 7 kn za 1 kg.
Prema cjeniku za zauzimanje prodajnog mjesta na tržnici, za svoje mjesto treba platiti dnevnu mjestarinu od 50 kn.
(okreni karticu)
Kolika će biti njegova dnevna zarada ako u jednom danu proda:
a) 250 kg jabuka,
b) 720 kg jabuka?
Formulom zapiši izračun Zlatkove dnevne zarade od prodaje jabuka.
Da bismo izračunali Zlatkovu dnevnu zaradu, najprije treba izračunati koliko novaca zaradi od prodaje jabuka u jednom danu. Kako u obzir treba uzeti i trošak mjesta na tržnici, iznos zarade od prodaje jabuka umanjimo za iznos dnevne mjestarine.
Zadatak 4.
Nauči
U prethodnim primjerima razmatrali smo različine probleme u kojima veličina y ovisi o veličini x. Kako su njihove vrijednosti povezane formulom y = ax + b, kažemo da veličina y linearno ovisi o veličini x.
Pri tome vrijednost veličine x biramo po volji, dok vrijednost veličine y zavisi o odabranoj vrijednosti veličine x.
Vrijednost x može biti bilo koji broj pa se zato x naziva NEZAVISNA VELIČINA.
Vrijednost y zavisi o izboru vrijednosti x pa se zato y naziva ZAVISNA VELIČINA.
Promotrimo primjere linearne ovisnosti proizvoljnih veličina y i x (zadane nekom formulom) te njihove odgovarajuće pridružene vrijednosti.
Primjer 3.
Zadatak 5.
„Čudesan matematički stroj”
Zamislimo stroj u koji unesemo bilo koji ulazni broj i dobijemo van izlazni broj kojeg stroj izračunava po nekom skrivenom pravilu. Primjerice, ubacimo u stroj broj 3 i van dobijemo broj 6. Zatim ubacimo broj –5 i dobijemo broj –10. Ako ubacimo 9, dobit ćemo broj 18 itd. UOČAVAŠ LI PO KOJEM PRAVILU STROJ IZRAČUNAVA IZLAZNI BROJ?
(okreni karticu)
Ako bolje promotrimo parove ulaznih i izlaznih brojeva
(3, 6) (–5, –10) (9, 18)
uočit ćemo da je stroj izračunao izlazni broj tako da je ulazni broj pomnožio brojem 2
6 = 2 ∙ 3 –10 = 2 ∙ (–5) 18 = 2 ∙ 9
Dakle, izlazni broj (y) ovisi o ulaznom broju (x) i ta linearna ovisnost je dana formulom:
y = 2x
Pokreni sljedeću interaktivnu vježbu i otkrij formulu linearne ovisnosti koja povezuje brojeve y i x pomoću „čudesnog matematičkog stroja”. Vježbu možeš ponoviti koliko god želiš puta jer će svaki put stroj odabrati neku novu proizvoljnu formulu linearne ovisnosti.
Zadatak 6.
Zadatak 7.
Zadatak 8.
Pokreni interaktivnu vježbu i promotri malo drugačiji „matematički stroj”. Za zadanu linearnu ovisnost trebaš izračunati vrijednost nezavisne veličine x ili zavisne veličine y, prema nasumično odabranom zadatku.
IZAZOV: Osvoji 100 bodova u 10 pokušaja! Svaki točan pokušaj nosi 10 bodova, a krivi pokušaj oduzima 5 bodova.