Linearna ovisnost

Ako je veličina y proporcionalna veličini x, sa zadanim koeficijentom proporcionalnosti, onda kažemo da y ovisi o x.

Primjerice, površina obojenog zida ovisi o količini potrošene boje.

Znajući da s 1 litrom boje možemo obojiti 5 m2 zida, možemo izračunati koliku ćemo površinu zida obojiti s 4 litre boje.
P (obojenog zida) = 4 ∙ 5 m2 = 20 m2

Istraži

Ovisnost dviju proporcionalnih veličina možemo zapisati formulom. Tada za svaku po volji odabranu vrijednost veličine x možemo izračunati vrijednost veličine y uz pomoć dane formule.

U sljedećoj interaktivnoj vježbi istraži kako zarada od prodaje limunade ovisi o broju prodanih čaša limunade.

Vježbu možeš ponoviti više puta jer će se svaki put prikazati novi skup podataka.

Nauči

Veličina y linearno ovisi o veličini x, ako su njihove vrijednosti povezane formulom
y = a ∙ x + b

Broj a naziva se linearni koeficijent, a broj b slobodni koeficijent te linearne ovisnosti.

U prethodnim primjerima razmatrali smo različine probleme u kojima veličina y ovisi o veličini x. Kako su njihove vrijednosti povezane formulom y = ax + b, kažemo da veličina y linearno ovisi o veličini x.
Pri tome vrijednost veličine x biramo po volji, dok vrijednost veličine y zavisi o odabranoj vrijednosti veličine x.

Nauči

Vrijednost x može biti bilo koji broj pa se zato x naziva NEZAVISNA VELIČINA.

Vrijednost y zavisi o izboru vrijednosti x pa se zato y naziva ZAVISNA VELIČINA.

Promotrimo primjere linearne ovisnosti proizvoljnih veličina y i x (zadane nekom formulom) te njihove odgovarajuće pridružene vrijednosti.

Odredi vrijednost zavisne veličine [latex]y=6x-1[/latex]:

a) za [latex]x=2.5[/latex],

b) za [latex]x=\frac{2}{3}[/latex].

Rješenje a)

U zadanu formulu uvrstimo vrijednost nezavisne veličine, odnosno umjesto [latex]x[/latex] pišemo [latex]2.5[/latex]:

[latex]y=6x-1[/latex]

[latex]y=6 \cdot 2.5-1=15-1=14[/latex]

Dakle, za [latex]x=2.5[/latex] veličina [latex]y=6x-1[/latex] poprima vrijednost [latex]14[/latex].

 

Rješenje b)

U zadanu formulu uvrstimo vrijednost nezavisne veličine, odnosno umjesto [latex]x[/latex] pišemo [latex]\frac{2}{3}[/latex]:

[latex]y=6x-1[/latex]

[latex]y=6 \cdot \frac{2}{3}-1=4-1=3[/latex]

Dakle, za [latex]x=\frac{2}{3}[/latex] veličina [latex]y=6x-1[/latex] poprima vrijednost [latex]3[/latex].

 

Zadana je linearna ovisnost [latex]y=10x-2[/latex]. Izračunaj vrijednost nezavisne veličine [latex]x[/latex], ako je vrijednost zavisne veličine [latex]y=8[/latex].

Treba naći [latex]x[/latex] za koji je [latex]y=8[/latex], tj. za koji vrijedi [latex]10x-2=8[/latex].

Riješimo tu jednadžbu:
[latex]10x-2=8[/latex]
[latex]10x=10\;\;/:10[/latex]
[latex]x=1[/latex]

Dakle za [latex]x=1[/latex] veličina [latex]y=10x-2[/latex] poprima vrijednost [latex]8[/latex].

Provjerit ćemo vrijedi li [latex]y=-5x+1[/latex] za sve pridružene parove [latex]x[/latex] i [latex]y[/latex].

U zadanu formulu uvrstimo umjesto [latex]x[/latex] i [latex]y[/latex] brojeve [latex]\frac{2}{5}[/latex] i [latex]-1[/latex].

Iz [latex]-1=-5 \cdot \frac{2}{5}+1[/latex] slijedi [latex]-1=-2+1[/latex], što je točna jednakost.

Zatim uvrstimo brojeve [latex]-3[/latex] i [latex]14[/latex].

Iz [latex]14=-5 \cdot (-3)+1[/latex] slijedi [latex]14=15+1[/latex], što nije točna jednakost.

 

Dakle, pridružene vrijednosti veličina [latex]x[/latex] i [latex]y[/latex] nisu povezane formulom [latex]y=-5x+1[/latex].

Linearna ovisnost

Uvod

Ako je veličina y proporcionalna veličini x, sa zadanim koeficijentom proporcionalnosti, onda kažemo da y ovisi o x.

Primjerice, površina obojenog zida ovisi o količini potrošene boje.

Znajući da s 1 litrom boje možemo obojiti 5 m2 zida, možemo izračunati koliku ćemo površinu zida obojiti s 4 litre boje.
P (obojenog zida) = 4 ∙ 5 m2 = 20 m2

Ovisnost dviju proporcionalnih veličina možemo zapisati formulom. Tada za svaku po volji odabranu vrijednost veličine x možemo izračunati vrijednost veličine y uz pomoć dane formule.

Istraži

U sljedećoj interaktivnoj vježbi istraži kako zarada od prodaje limunade ovisi o broju prodanih čaša limunade.

Vježbu možeš ponoviti više puta jer će se svaki put prikazati novi skup podataka.

Nauči

Veličina y linearno ovisi o veličini x, ako su njihove vrijednosti povezane formulom
y = a ∙ x + b

Broj a naziva se linearni koeficijent, a broj b slobodni koeficijent te linearne ovisnosti.

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Primjer 1. Ušteđevina

Da bismo izračunali koliko će novca od ušteđevine ostati Martini nakon dva odnosno pet dana skijanja, najprije treba izračunati koliko je novca potrošila u tom vremenskom periodu. Preostali iznos ušteđevine ćemo izračunati tako da početni iznos ušteđevine umanjimo za iznos potrošenog novca.

Primjer 2. Na tržnici

Da bismo izračunali Zlatkovu dnevnu zaradu, najprije treba izračunati koliko novaca zaradi od prodaje jabuka u jednom danu. Kako u obzir treba uzeti i trošak mjesta na tržnici, iznos zarade od prodaje jabuka umanjimo za iznos dnevne mjestarine.

Zadatak 4.

Nauči

U prethodnim primjerima razmatrali smo različine probleme u kojima veličina y ovisi o veličini x. Kako su njihove vrijednosti povezane formulom y = ax + b, kažemo da veličina y linearno ovisi o veličini x.
Pri tome vrijednost veličine x biramo po volji, dok vrijednost veličine y zavisi o odabranoj vrijednosti veličine x.

Vrijednost x može biti bilo koji broj pa se zato x naziva NEZAVISNA VELIČINA.

Vrijednost y zavisi o izboru vrijednosti x pa se zato y naziva ZAVISNA VELIČINA.

Promotrimo primjere linearne ovisnosti proizvoljnih veličina y i x (zadane nekom formulom) te njihove odgovarajuće pridružene vrijednosti.

Primjer 3.

Odredi vrijednost zavisne veličine [latex]y=6x-1[/latex]:

a) za [latex]x=2.5[/latex],

b) za [latex]x=\frac{2}{3}[/latex].

Rješenje a)

U zadanu formulu uvrstimo vrijednost nezavisne veličine, odnosno umjesto [latex]x[/latex] pišemo [latex]2.5[/latex]:

[latex]y=6x-1[/latex]

[latex]y=6 \cdot 2.5-1=15-1=14[/latex]

Dakle, za [latex]x=2.5[/latex] veličina [latex]y=6x-1[/latex] poprima vrijednost [latex]14[/latex].

 

Rješenje b)

U zadanu formulu uvrstimo vrijednost nezavisne veličine, odnosno umjesto [latex]x[/latex] pišemo [latex]\frac{2}{3}[/latex]:

[latex]y=6x-1[/latex]

[latex]y=6 \cdot \frac{2}{3}-1=4-1=3[/latex]

Dakle, za [latex]x=\frac{2}{3}[/latex] veličina [latex]y=6x-1[/latex] poprima vrijednost [latex]3[/latex].

 

Zadana je linearna ovisnost [latex]y=10x-2[/latex]. Izračunaj vrijednost nezavisne veličine [latex]x[/latex], ako je vrijednost zavisne veličine [latex]y=8[/latex].

Treba naći [latex]x[/latex] za koji je [latex]y=8[/latex], tj. za koji vrijedi [latex]10x-2=8[/latex].

Riješimo tu jednadžbu:
[latex]10x-2=8[/latex]
[latex]10x=10\;\;/:10[/latex]
[latex]x=1[/latex]

Dakle za [latex]x=1[/latex] veličina [latex]y=10x-2[/latex] poprima vrijednost [latex]8[/latex].

Provjerit ćemo vrijedi li [latex]y=-5x+1[/latex] za sve pridružene parove [latex]x[/latex] i [latex]y[/latex].

U zadanu formulu uvrstimo umjesto [latex]x[/latex] i [latex]y[/latex] brojeve [latex]\frac{2}{5}[/latex] i [latex]-1[/latex].

Iz [latex]-1=-5 \cdot \frac{2}{5}+1[/latex] slijedi [latex]-1=-2+1[/latex], što je točna jednakost.

Zatim uvrstimo brojeve [latex]-3[/latex] i [latex]14[/latex].

Iz [latex]14=-5 \cdot (-3)+1[/latex] slijedi [latex]14=15+1[/latex], što nije točna jednakost.

 

Dakle, pridružene vrijednosti veličina [latex]x[/latex] i [latex]y[/latex] nisu povezane formulom [latex]y=-5x+1[/latex].

Zadatak 5.

„Čudesan matematički stroj”

Pokreni sljedeću interaktivnu vježbu i otkrij formulu linearne ovisnosti koja povezuje brojeve y i x pomoću „čudesnog matematičkog stroja”. Vježbu možeš ponoviti koliko god želiš puta jer će svaki put stroj odabrati neku novu proizvoljnu formulu linearne ovisnosti.

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Pokreni interaktivnu vježbu i promotri malo drugačiji „matematički stroj”. Za zadanu linearnu ovisnost trebaš izračunati vrijednost nezavisne veličine x ili zavisne veličine y, prema nasumično odabranom zadatku.

IZAZOV: Osvoji 100 bodova u 10 pokušaja! Svaki točan pokušaj nosi 10 bodova, a krivi pokušaj oduzima 5 bodova.

Ponovi i uvježbaj