U ovom video smo saznali da prilikom izrade makete aviona potrebno je utvrditi točne mjere koje se umanjuju nekoliko puta, u ovom slučaju 72 puta. Taj odnos brojeva naziva se omjer. 

Koliko puta se je umanjila duljina aviona, toliko puta trebala umanjiti i širinu aviona. Takve veličine nazivamo proporcionalne veličine.

Dvije veličine su PROPORCIONALNE ako vrijedi:

Koliko se puta poveća jedna veličina, toliko se puta poveća druga veličina.

Koliko se puta smanji jedna veličina, toliko se puta smanji druga veličina.

Marija je kupila 12 kg jabuka i platila ih je 60 kn, koliko bi platila 15 kg jabuka?

Rješenje: 

Najvažnije je izračunati koliko je Marija platila za jedan kilogram jabuka.

Cijena je proporcionalna količini koju je kupila.

[latex]\frac{60kn}{12kg}=5kn/kg[/latex]

Sada lako slijedi da će za 15 kg jabuka 15 · 5 platiti 75 kuna.

Iz prethodnog primjera možemo zaključiti:

Ako su x i y proporcionalne veličine (npr. x= kilogrami jabuka i y= cijena) onda je lako izračunati svaki y ako znamo da je y= k za x=1

Taj broj k naziva se koeficijent proporcionalnosti veličine y u odnosu na veličinu x. On je jednak omjeru bilo kojih pridruženih vrijednosti:

[latex]\frac{y}{x}=\frac{k}{1}=\frac{2k}{2}=\frac{3k}{3}=\frac{nk}{n}=...=k[/latex]

Ako su veličine y i x proporcionalne,

onda je količnik njihovih vrijednosti 

[latex]\frac{y}{x}[/latex] uvijek isti broj k ≠ 0.

 

Ta konstanta naziva se

KOEFICIJENT PROPORCIONALNOSTI

veličine y u odnosu na veličinu x.

Znamo li k, lako je za zadani x odrediti y:

[latex]\frac{y}{x}=k[/latex] → [latex]y=k\cdot x[/latex]

Mirko je u mjenjačnici za 100 funti (£) platio 888 kuna.

a) Koliki je prodajni tečaj funte, tj. koliko se kuna u toj mjenjačnici dobije za 1 £?

b) Koliko će Mirko platiti za 150 £?

c) Koliko funti Mirko može kupiti za 6 216 kn?

Tečajna lista prikazuje cijene stranih valuta. Službenu tečajnu listu donosi Hrvatska narodna banka (HNB) i ona se objavljuje za svaki dan.  Razlikuje se kupovni i prodajni tečaj pojedine valute. Kupovni je tečaj cijena po kojoj banka kupuje valutu dok je prodajni tečaj cijena po kojoj je prodaje.

a) Koliki je prodajni tečaj funte, tj. koliko se kuna u toj mjenjačnici dobije za 1 £?

Rješenje: 

Iznos u funtama i iznos u kunama proporcionalne su veličine. Tečaj funte jest koeficijent proporcionalnosti iznosa u kunama i iznosa u eurima.

Označimo li iznos u funtama s x, a iznos u kunama s y, tada je [latex]\frac{y}{x}=k[/latex].

Cijena 1 funte k jest tečaj funte. Slijedi:

[latex]k=\frac{y}{x}=\frac{888}{100}=8.88[/latex]

Za 1 funtu treba platiti 8.88 kuna.

b) Koliko će Mirko platiti za 150 £?

Rješenje:

Ako je x=150 £, onda je y= k · x = 8.88 kn/£ · 150 £ = 1332.00 kn

Mirko će za 150 £ platiti 1332.00 kn.

c) Koliko funti Mirko može kupiti za 6 216.00 kn?

Rješenje:

Ako je y= 6 216 kn, onda je [latex]x=\frac{y}{k}=\frac{6216}{8.88kn/\pounds }=700[/latex]£.

Mirko će za 6216 kn kupiti 700 £.

Ako 6 cm na karti prikazuje 240 km u stvarnosti, kolika je stvarna udaljenost gradova čiji su prikazi na karti udaljeni 5.3 cm ? Koje je mjerilo zapisano na karti?

Svaka geografska karta izrađena je u određenom mjerilu. Mjerilo karte omjer je oblika 1:n koji nam govori da 1 mjerna jedinica na karti predstavlja udaljenost o n mjernih jedinica u prirodi; npr. 1:25 000 znači da 1 cm na karti je 25 000 cm u prirodi.

Ako 6 cm na karti prikazuje 240 km u stvarnosti, kolika je stvarna udaljenost gradova čiji su prikazi na karti udaljeni 5.3 cm ? Koje je mjerilo zapisano na karti?

Rješenje:

Udaljenosti na geografskoj karti proporcionalne su stvarnim udaljenostima koje karta prikazuje. I

Označimo li udaljenost na karti s x, a udaljenost u prirodi  s y, tada je [latex]\frac{y}{x}=k[/latex], a mjerilo karte je izraz 1:k

Slijedi:

[latex]k=\frac{y}{x}=\frac{24000000 cm}{6 cm}=4000000[/latex]

5.3 cm · 4000000 cm = 21200000 cm

Stvarna udaljenost između gradova iznosi 21200000 cm odnosno 212 km

Mjerilo karte je 1 : 4000000.

 

Neka agencija za nekretnine prodaje četiri stana.

Proporcionalne veličine

Pogledajte slijedeći video i saznajte kako se izrađuje model poznatog aviona iz Drugog svjetskog rata zvanog - Spitfire.

U ovom video smo saznali da prilikom izrade makete aviona potrebno je utvrditi točne mjere koje se umanjuju nekoliko puta, u ovom slučaju 72 puta. Taj odnos brojeva naziva se omjer. 

Koliko puta se je umanjila duljina aviona, toliko puta se treba umanjiti i širina aviona. Takve veličine nazivamo proporcionalne veličine.

Nauči

Dvije veličine su PROPORCIONALNE ako vrijedi:

Koliko se puta poveća jedna veličina, toliko se puta poveća druga veličina.

Koliko se puta smanji jedna veličina, toliko se puta smanji druga veličina.

Zadatak 1.

Pažljivo pročitaj slijedeće rečenice. Ako se u njima spominju proporcionalne veličine, odaberi TOČNO.

Primjer 1.

Marija je kupila 12 kg jabuka i platila ih je 60 kn, koliko bi platila 15 kg jabuka?

Rješenje: 

Najvažnije je izračunati koliko je Marija platila za jedan kilogram jabuka.

Cijena je proporcionalna količini koju je kupila.

[latex]\frac{60}{12}=5[/latex] kn/kg

Sada lako slijedi da će za 15 kg jabuka 15 · 5 platiti 75 kuna.

Iz prethodnog primjera možemo zaključiti:

Ako su x i y proporcionalne veličine (npr. x= kilogrami jabuka i y= cijena) onda je lako izračunati svaki y ako znamo da je y= k za x=1

Taj broj k naziva se koeficijent proporcionalnosti veličine y u odnosu na veličinu x. On je jednak omjeru bilo kojih pridruženih vrijednosti:

[latex]\frac{y}{x}=\frac{k}{1}=\frac{2k}{2}=\frac{3k}{3}=\frac{nk}{n}=...=k[/latex]

Ako su veličine y i x proporcionalne,

onda je količnik njihovih vrijednosti 

[latex]\frac{y}{x}[/latex] uvijek isti broj k ≠ 0.

 

Ta konstanta naziva se

KOEFICIJENT PROPORCIONALNOSTI

veličine y u odnosu na veličinu x.

Znamo li k, lako je za zadani x odrediti y:

[latex]\frac{y}{x}=k[/latex] → [latex]y=k\cdot x[/latex]

Zadatak 2.

Primjer 2.

Mirko je u mjenjačnici za 100 funti (£) platio 888 kuna.

a) Koliki je prodajni tečaj funte, tj. koliko se kuna u toj mjenjačnici dobije za 1 £?

b) Koliko će Mirko platiti za 150 £?

c) Koliko funti Mirko može kupiti za 6 216 kn?

Tečajna lista prikazuje cijene stranih valuta. Službenu tečajnu listu donosi Hrvatska narodna banka (HNB) i ona se objavljuje za svaki dan.  Razlikuje se kupovni i prodajni tečaj pojedine valute. Kupovni je tečaj cijena po kojoj banka kupuje valutu dok je prodajni tečaj cijena po kojoj je prodaje.

a) Koliki je prodajni tečaj funte, tj. koliko se kuna u toj mjenjačnici dobije za 1 £?

Rješenje: 

Iznos u funtama i iznos u kunama proporcionalne su veličine. Tečaj funte jest koeficijent proporcionalnosti iznosa u kunama i iznosa u eurima.

Označimo li iznos u funtama s x, a iznos u kunama s y, tada je [latex]\frac{y}{x}=k[/latex].

Cijena 1 funte k jest tečaj funte. Slijedi:

[latex]k=\frac{y}{x}=\frac{888}{100}=8.88[/latex]

Za 1 funtu treba platiti 8.88 kuna.

b) Koliko će Mirko platiti za 150 £?

Rješenje:

Ako je x=150 £, onda je y= k · x = 8.88 kn/£ · 150 £ = 1332.00 kn

Mirko će za 150 £ platiti 1332.00 kn.

c) Koliko funti Mirko može kupiti za 6 216.00 kn?

Rješenje:

Ako je y= 6 216 kn, onda je [latex]x=\frac{y}{k}=\frac{6216}{8.88kn/\pounds }=700[/latex]£.

Mirko će za 6216 kn kupiti 700 £.

Zadatak 3.

Primjer 3.

Ako 6 cm na karti prikazuje 240 km u stvarnosti, kolika je stvarna udaljenost gradova čiji su prikazi na karti udaljeni 5.3 cm ? Koje je mjerilo zapisano na karti?

Svaka geografska karta izrađena je u određenom mjerilu. Mjerilo karte omjer je oblika 1:n koji nam govori da 1 mjerna jedinica na karti predstavlja udaljenost od n mjernih jedinica u prirodi; npr. 1:25 000 znači da 1 cm na karti je 25 000 cm u prirodi.

Ako 6 cm na karti prikazuje 240 km u stvarnosti, kolika je stvarna udaljenost gradova čiji su prikazi na karti udaljeni 5.3 cm ? Koje je mjerilo zapisano na karti?

Rješenje:

Udaljenosti na geografskoj karti proporcionalne su stvarnim udaljenostima koje karta prikazuje. 

Označimo li udaljenost na karti s x, a udaljenost u prirodi  s y, tada je [latex]\frac{y}{x}=k[/latex], a mjerilo karte je izraz 1:k

Slijedi:

[latex]k=\frac{y}{x}=\frac{24000000}{6}=4000000[/latex]

5.3 cm · 4000000 cm = 21200000 cm

Stvarna udaljenost između gradova iznosi 21200000 cm odnosno 212 km

Mjerilo karte je 1 : 4000000.

 

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Neka agencija za nekretnine prodaje četiri stana.

Zadatak 7.