Graf linearne ovisnosti 1

Već ste ranije naučili, a ove godine i ponovili, kako prikazujemo točke u pravokutnom koordinatnom sustavu. Svakoj točki ravnine u koordinatnom sustavu pridružen je uređeni par brojeva [latex](x,y)[/latex] koje nazivamo koordinate te točke.

[latex]T(x,y)[/latex]

Broj [latex]x[/latex] je [latex]x[/latex]-koordinata ili apscisa točke [latex]T[/latex].

Broj [latex]y[/latex] je [latex]y[/latex]-koordinata ili ordinata točke [latex]T[/latex].

Istraži: točka do točke... pravac

U sljedećoj interaktivnoj vježbi treba rasporediti dane točke u koordinatnom sustavu tako da zadovoljavaju zadani uvjet. Pažljivo rješavaj zadatak korak po korak, prateći upute.

Pokušaj riješiti nekoliko zadataka i istraži koji uvjet moraju zadovoljavati koordinate neke točke da bi ta točka pripadala pravcu u koordinatnoj ravnini.

Prouči: od jednadžbe do pravca

U prehodnoj smo interakciji, premještanjem točaka u koordinatnoj ravnini na temelju zadanog uvjeta, uočili da koordinate točaka koje zadovoljavaju istu jednadžbu pripadaju istome pravcu. Sada ćemo pokazati kako zadanu linearnu ovisnost prikazati u pravokutnom koordinatnom sustavu na temelju zadane jednadžbe.

Kako bismo u koordinatnom sustavu prikazali linearnu ovisnost danu formulom [latex]y=3x+1[/latex]?

Taj se pravac naziva graf linearne ovisnosti [latex]y=3x+1[/latex]. Za taj pravac kažemo da
ima jednadžbu [latex]y=3x+1[/latex] tj. da je [latex]y=3x+1[/latex] jednadžba tog pravca.

Nauči

[latex]\text{\red{Graf linearne ovisnosti} \textit{y} = \textit{ax} + \textit{b} u koordinatnoj} \\ \text{ravnini jest pravac. Koordinate točaka toga pravca} \\ \text{zadovoljavaju jednadžbu \textit{y} = \textit{ax} + \textit{b} pa se ta} \\ \text{jednadžba naziva \red{jednadžba pravca.}}[/latex]

Nacrtajmo graf linearne ovisnosti [latex]y=-2x-2[/latex] (tj. pravac [latex]y=-2x-2[/latex]). 

Svaki je pravac određen svojim dvjema točkama. To znači da graf linearne ovisnosti možemo odrediti već dvjema njegovim točkama.

Zadatak 1.

Uvježbaj crtanje pravca zadanog jednadžbom. 

Pomakni točke A i B na odgovarajuće mjesto tako da njihove koordinate zadovoljavaju zadanu jednadžbu pravca.

Primjer 2. Pripadnost točke grafu linearne ovisnosti

a) Zadana su dva pravca čije su jednadžbe [latex]y_{1}=-x+3[/latex] i [latex]y_{2}=x-1[/latex]. U kojoj točki se sijeku ti pravci?

Promotrimo kako zadatak riješiti računski. Neka se pravci sijeku u točki [latex]S(x,y)[/latex]. Koordinate te točke zadovoljavaju jednadžbe obaju pravaca, pa za [latex]y[/latex]-koordinatu te točke vrijedi
[latex]y=-x+3[/latex] i [latex]y=x-1[/latex].

Odavde dobijemo da je
[latex]-x+3=x-1[/latex]
i iz ove jednadžbe izračunamo [latex]x[/latex]-koordinatu sjecišta [latex]S[/latex], tj. slijedi [latex]\boldsymbol{x=2}[/latex].

Sada u jednadžbu prvog ili drugog pravca uvrstimo dobivenu vrijednost umjesto [latex]x[/latex] i izračunamo [latex]y[/latex]-koordinatu sjecišta S.
[latex]\boldsymbol{y=-x+3=-2+3=1}[/latex]
Uvjeri se da bi istu vrijednost dobili i da smo uvrstili u jednadžbu drugog pravca.

Dakle, sjecište pravaca jest točka [latex]\boldsymbol{S(2,1)}[/latex].

Zadatak smo mogli riješiti i grafički.

Odrediti po dvije točke svakog pravca, nacrtati pravce u istoj koordinatnoj ravnini, označiti sjecište i očitati njegove koordinate.

Međutim, koordinate sjecišta mogu biti i racionalni brojevi pa je u tom slučaju znatno teže očitati koordinate s grafa. 

b) Nacrtajmo te pravce u istoj koordinatnoj ravnini. Istražimo za koje [latex]x[/latex] je [latex]y_{1}>y_{2}[/latex], a za koje je [latex]y_{1}<y_{2}[/latex]?

ISTRAŽI

Interaktivni aplet na sljedećem slajdu prikazuje zadane pravce u koordinatnoj ravnini. Pomiči zelenu strelicu i istraži u kakvom su odnosu [latex]y[/latex]-koordinate točaka koje pripadaju pravcima [latex]y_{1}[/latex] i [latex]y_{2}[/latex] za istu vrijednost [latex]x[/latex]-koordinate.

Što se događa ako je [latex]x[/latex]-koordinata tih točaka
- lijevo od [latex]x[/latex]-koordinate sjecišta
- jednaka [latex]x[/latex]-koordinati sjecišta
- desno od [latex]x[/latex]-koordinate sjecišta?

Koristeći interaktivni aplet i svoj crtež, sigurno ste uočili sljedeće:

  • lijevo od sjecišta vrijedi [latex]y_{1}>y_{2}[/latex] (prvi je pravac iznad drugoga pravca). To znači da je [latex]{\color{#008000}\boldsymbol{y_{1}>y_{2}}}[/latex] za [latex]{\color{#008000}\boldsymbol{x<2}}[/latex], tj. ako je [latex]x[/latex]-koordinata točaka koje pripadaju pravcima manja od [latex]x[/latex]-koordinate sjecišta [latex]S[/latex].
  • desno od sjecišta vrijedi [latex]y_{1}<y_{2}[/latex] (prvi je pravac ispod drugoga pravca). To znači da je [latex]{\color{#008000}\boldsymbol{y_{1}<y_{2}}}[/latex] za [latex]{\color{#008000}\boldsymbol{x>2}}[/latex], tj. ako je [latex]x[/latex]-koordinata točaka koje pripadaju pravcima veća od [latex]x[/latex]-koordinate sjecišta [latex]S[/latex].
  • u sjecištu vrijedi [latex]y_{1}=y_{2}[/latex] (sjecište pripada i jednom i drugom pravcu). To znači da je [latex]{\color{#008000}\boldsymbol{y_{1}=y_{2}}}[/latex] za [latex]{\color{#008000}\boldsymbol{x=2}}[/latex], tj. ako je [latex]x[/latex]-koordinata točaka koje pripadaju pravcu jednaka [latex]x[/latex]-koordinati sjecišta [latex]S[/latex].

Primjer 4. Sjecišta pravca s koordinatnim osima

Kako odrediti koordinate sjecišta pravca s koordinatnim osima?

Primjer 4. Sjecišta pravca s koordinatnim osima

Pomičite točke A i B i istražite kako se mijenjaju koordinate sjecišta pravca s koordinatnim osima.

Odredimo koordinate sjecišta pravca [latex]y=2x+1[/latex] s koordinatnim osima.

Sjecište s [latex]x[/latex]-osi

To je točka koja, osim što pripada zadanom pravcu, pripada i osi [latex]x[/latex]. Zato joj je druga koordinata jednaka 0, što znači da u zadanu jednadžbu pravca uvrstimo [latex]y=0[/latex]. Dobijemo: [latex]0=2x+1[/latex], odakle je [latex]x=-\frac{1}{2}[/latex].

Sjecište s [latex]x[/latex]-osi ima koordinate [latex](-\frac{1}{2},0)[/latex].

Sjecište s [latex]y[/latex]-osi

To je točka koja, osim što pripada zadanom pravcu, pripada i osi [latex]y[/latex]. Zato joj je prva koordinata jednaka 0, što znači da u zadanu jednadžbu pravca uvrstimo [latex]x=0[/latex]. Dobijemo: [latex]y=2\cdot0+1[/latex], odakle je [latex]y=1[/latex].

Sjecište s [latex]y[/latex]-osi ima koordinate [latex](0,1)[/latex].

Graf linearne ovisnosti 1

Već ste ranije naučili, a ove godine i ponovili, kako prikazujemo točke u pravokutnom koordinatnom sustavu. Svakoj točki ravnine u koordinatnom sustavu pridružen je uređeni par brojeva [latex](x,y)[/latex] koje nazivamo koordinate te točke.

[latex]T(x,y)[/latex]

Broj [latex]x[/latex] je [latex]x[/latex]-koordinata ili apscisa točke [latex]T[/latex].

Broj [latex]y[/latex] je [latex]y[/latex]-koordinata ili ordinata točke [latex]T[/latex].

Istraži: točka do točke... pravac

U sljedećoj interaktivnoj vježbi treba rasporediti dane točke u koordinatnom sustavu tako da zadovoljavaju zadani uvjet. Pažljivo rješavaj zadatak korak po korak, prateći upute.

Pokušaj riješiti nekoliko zadataka i istraži koji uvjet moraju zadovoljavati koordinate neke točke da bi ta točka pripadala pravcu u koordinatnoj ravnini.

Prouči: od jednadžbe do pravca

U prehodnoj smo interakciji, premještanjem točaka u koordinatnoj ravnini na temelju zadanog uvjeta, uočili da koordinate točaka koje zadovoljavaju istu jednadžbu pripadaju istome pravcu. Sada ćemo pokazati kako zadanu linearnu ovisnost prikazati u pravokutnom koordinatnom sustavu na temelju zadane jednadžbe.

Kako bismo u koordinatnom sustavu prikazali linearnu ovisnost danu formulom [latex]y=3x+1[/latex]?

Taj se pravac naziva graf linearne ovisnosti [latex]y=3x+1[/latex]. Za taj pravac kažemo da
ima jednadžbu [latex]y=3x+1[/latex] tj. da je [latex]y=3x+1[/latex] jednadžba tog pravca.

Nauči

[latex]\text{\red{Graf linearne ovisnosti} \textit{y} = \textit{ax} + \textit{b} u koordinatnoj} \\ \text{ravnini jest pravac. Koordinate točaka toga pravca} \\ \text{zadovoljavaju jednadžbu \textit{y} = \textit{ax} + \textit{b} pa se ta} \\ \text{jednadžba naziva \red{jednadžba pravca.}}[/latex]

Primjer 1. Crtanje grafa linearne ovisnosti

Nacrtajmo graf linearne ovisnosti [latex]y=-2x-2[/latex] (tj. pravac [latex]y=-2x-2[/latex]). 

Svaki je pravac određen svojim dvjema točkama. To znači da graf linearne ovisnosti možemo odrediti već dvjema njegovim točkama.

Zadatak 1.

U sljedećem zadatku uvježbaj crtanje pravca zadanog jednadžbom. Pomakni točke A i B na odgovarajuće mjesto tako da njihove koordinate zadovoljavaju zadanu jednadžbu pravca.

Vježbu možeš ponoviti više puta jer se jednadžba nasumično odabire kao u „beskonačnoj” zbirci zadataka.

Primjer 2. Pripadnost točke grafu linearne ovisnosti

Rješenje svakog zadatka provjeri na poleđini pojedine kartice.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Primjer 3. Sjecište pravaca u koordinatnom sustavu

a) Zadana su dva pravca čije su jednadžbe [latex]y_{1}=-x+3[/latex] i [latex]y_{2}=x-1[/latex]. U kojoj točki se sijeku ti pravci?

RJEŠENJE

Promotrimo kako zadatak riješiti računski. Neka se pravci sijeku u točki [latex]S(x,y)[/latex]. Koordinate te točke zadovoljavaju jednadžbe obaju pravaca, pa za [latex]y[/latex]-koordinatu te točke vrijedi
[latex]y=-x+3[/latex] i [latex]y=x-1[/latex].

Odavde dobijemo da je
[latex]-x+3=x-1[/latex]
i iz ove jednadžbe izračunamo [latex]x[/latex]-koordinatu sjecišta [latex]S[/latex], tj. slijedi [latex]\boldsymbol{x=2}[/latex].

Sada u jednadžbu prvog ili drugog pravca uvrstimo dobivenu vrijednost umjesto [latex]x[/latex] i izračunamo [latex]y[/latex]-koordinatu sjecišta S.
[latex]\boldsymbol{y=-x+3=-2+3=1}[/latex]
Uvjeri se da bi istu vrijednost dobili i da smo uvrstili u jednadžbu drugog pravca.

Dakle, sjecište pravaca jest točka [latex]\boldsymbol{S(2,1)}[/latex].

Zadatak smo mogli riješiti i grafički.

Odrediti po dvije točke svakog pravca, nacrtati pravce u istoj koordinatnoj ravnini, označiti sjecište i očitati njegove koordinate.

Međutim, koordinate sjecišta mogu biti i racionalni brojevi pa je u tom slučaju znatno teže očitati koordinate s grafa. 

b) Nacrtajmo te pravce u istoj koordinatnoj ravnini. Istražimo za koje [latex]x[/latex] je [latex]y_{1}>y_{2}[/latex], a za koje je [latex]y_{1}<y_{2}[/latex]?

ISTRAŽI

Interaktivni aplet na sljedećem slajdu prikazuje zadane pravce u koordinatnoj ravnini. Pomiči zelenu strelicu i istraži u kakvom su odnosu [latex]y[/latex]-koordinate točaka koje pripadaju pravcima [latex]y_{1}[/latex] i [latex]y_{2}[/latex] za istu vrijednost [latex]x[/latex]-koordinate.

Što se događa ako je [latex]x[/latex]-koordinata tih točaka
- lijevo od [latex]x[/latex]-koordinate sjecišta
- jednaka [latex]x[/latex]-koordinati sjecišta
- desno od [latex]x[/latex]-koordinate sjecišta?

Koristeći interaktivni aplet i svoj crtež, sigurno ste uočili sljedeće:

  • lijevo od sjecišta vrijedi [latex]y_{1}>y_{2}[/latex] (prvi je pravac iznad drugoga pravca). To znači da je [latex]{\color{#008000}\boldsymbol{y_{1}>y_{2}}}[/latex] za [latex]{\color{#008000}\boldsymbol{x<2}}[/latex], tj. ako je [latex]x[/latex]-koordinata točaka koje pripadaju pravcima manja od [latex]x[/latex]-koordinate sjecišta [latex]S[/latex].
  • desno od sjecišta vrijedi [latex]y_{1}<y_{2}[/latex] (prvi je pravac ispod drugoga pravca). To znači da je [latex]{\color{#008000}\boldsymbol{y_{1}<y_{2}}}[/latex] za [latex]{\color{#008000}\boldsymbol{x>2}}[/latex], tj. ako je [latex]x[/latex]-koordinata točaka koje pripadaju pravcima veća od [latex]x[/latex]-koordinate sjecišta [latex]S[/latex].
  • u sjecištu vrijedi [latex]y_{1}=y_{2}[/latex] (sjecište pripada i jednom i drugom pravcu). To znači da je [latex]{\color{#008000}\boldsymbol{y_{1}=y_{2}}}[/latex] za [latex]{\color{#008000}\boldsymbol{x=2}}[/latex], tj. ako je [latex]x[/latex]-koordinata točaka koje pripadaju pravcu jednaka [latex]x[/latex]-koordinati sjecišta [latex]S[/latex].

Zadatak 4.

Sljedeće zadatke najprije riješi u bilježnicu, a zatim za provjeru točnosti upiši ili odaberi točno rješenje.

Primjer 4. Sjecišta pravca s koordinatnim osima

Kako odrediti koordinate sjecišta pravca s koordinatnim osima?

U sljedećem interaktivnom apletu pomičite točke A i B i istražite kako se mijenjaju koordinate sjecišta pravca s koordinatnim osima.

Zadatak 5.

Odredimo koordinate sjecišta pravca [latex]y=2x+1[/latex] s koordinatnim osima.

Sjecište s [latex]x[/latex]-osi

To je točka koja, osim što pripada zadanom pravcu, pripada i osi [latex]x[/latex]. Zato joj je druga koordinata jednaka 0, što znači da u zadanu jednadžbu pravca uvrstimo [latex]y=0[/latex]. Dobijemo: [latex]0=2x+1[/latex], odakle je [latex]x=-\frac{1}{2}[/latex].

Sjecište s [latex]x[/latex]-osi ima koordinate [latex](-\frac{1}{2},0)[/latex].

Sjecište s [latex]y[/latex]-osi

To je točka koja, osim što pripada zadanom pravcu, pripada i osi [latex]y[/latex]. Zato joj je prva koordinata jednaka 0, što znači da u zadanu jednadžbu pravca uvrstimo [latex]x=0[/latex]. Dobijemo: [latex]y=2\cdot0+1[/latex], odakle je [latex]y=1[/latex].

Sjecište s [latex]y[/latex]-osi ima koordinate [latex](0,1)[/latex].