Graf linearne ovisnosti 2
Uvod
U prethodnoj smo jedinici, između ostalog, naučili kako grafički prikazati linearnu ovisnost i kako odrediti nepoznatu koordinatu točke koja pripada grafu linearne ovisnosti.
U sljedećem interaktivnom videu prouči postupak očitavanja nepoznate koordinate točke s grafa linearne ovisnosti.
Nacrtamo pravac u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini.
Očitamo nepoznatu y-koordinatu te točke s grafa.
Očitamo nepoznatu x-koordinatu te točke s grafa.
Primjer 1. Očitaj točku grafa
Nacrtajmo graf linearne ovisnosti y = 2x – 1. Očitajmo točku toga grafa čija je:
a) prva koordinata 1.5,
b) druga koordinata 5,
c) prva koordinata jednaka drugoj koordinati,
d) ordinata –3.
Samostalno riješi zadatak u bilježnicu, a zatim u nastavku prouči objašnjenja i provjeri svoja rješenja.
Zadatak 1.
Nacrtaj u bilježnicu graf linearne ovisnosti koja broju –1 pridružuje broj 1, a broju 4 broj 6. Zatim riješi sljedeće zadatke koristeći se nacrtanim grafom.
Prouči
Zlatko je krenuo na put automobilom vozeći se stalnom brzinom bez zaustavljanja na putu. Na slici je prikazan grafički prikaz ovisnosti prijeđenog puta (u kilometrima) o proteklom vremenu (u satima).
Proučite grafički prikaz na slici i pomoću njega odgovorite na sljedeća pitanja. Svoj odgovor provjerite na poleđini pojedine kartice.
Možemo li s grafa iščitati kako prijeđeni put ovisi o proteklom vremenu pri gibanju stalnom brzinom? Je li ta ovisnost linearna?
Čitajući graf uočite da su prijeđeni put i proteklo vrijeme vožnje proporcionalne veličine jer koliko puta povećamo (smanjimo) vrijeme vožnje toliko će se puta povećati (smanjiti) prijeđeni put.
Primjerice, usporedimo li koordinate točaka grafa (2, 100) i (4, 200) vidimo da će automobil za dvostruko dulje vrijeme prijeći dvostruko dulji put i obrnuto. Dakle, pri gibanju stalnom brzinom prijeđeni put linearno ovisi o proteklom vremenu.
Očito je da je graf prikazane ovisnosti u koordinatnoj ravnini pravac, pa zaključujemo da je ta ovisnost linearna.
Zašto je graf smješten u prvi kvadrant?
Duljina proteklog vremena, kao i duljina prijeđenog puta mogu imati samo pozitivnu vrijednost tako da graf te ovisnosti crtamo samo u prvome kvadrantu.
Kolika je bila prosječna brzina automobila tijekom putovanja?
(Prisjeti se: prosječna brzina omjer je prijeđenoga puta i za to potrebnoga vremena).
Treba s grafa iščitati koliki put automobil prevali za promatrano vrijeme. Primjerice, iz točke grafa (3, 150) slijedi da je automobil za 3 h prešao put od 150 km.
Kako smo utvrdili da su te veličine linearno ovisne, zaključujemo da za jedan sat automobil prijeđe 50 km, pa je njegova prosječna brzina kretanja bila 50 km/h. Na grafičkom prikazu je to točka s koordinatama (1, 50).
Koliki je put Zlatko prešao za 150 min?
Promotrimo najprije brojevne skale na koordinatnim osima. Na koordinatnoj osi x glavne linije koordinatne mreže prikazuju razmake od 1 sata, a sporedne od 0.5 sati. Na koordinatnoj osi y, glavne linije prikazuju razmake od 50 km, a sporedne od 25 km.
Zatim iskažemo 150 min kao 2.5 h (2 h i 30 min), te s grafa iščitamo koordinatu odgovarajuće točke. To je točka s koordinatama (2.5, 125). Dakle, za 150 min Zlatko je prešao put od 125 km.
Koliko je vremena trebalo Zlatku da prijeđe put od 175 km?
Na prethodno opisani način iščitamo s grafa koordinatu odgovarajuće točke. To je točka s koordinatama (3.5, 175). Dakle, put od 175 km Zlatko je prešao za 3.5 h, tj. za 3 h i 30 min.
Ako je udaljenost do odredišta 250 km, koliko je vremena Zlatko proveo na putu?
Tražena točka grafa je (5, 250) iz čega slijedi da je Zlatko proveo na putu 5 sati.
Kako u promatranom primjeru glasi jednadžba koja opisuje linearnu ovisnost duljine prijeđenog puta o duljini vremena provedenog na putu?
S x označimo duljinu vremena provedenog na putu (u satima), a s y duljinu prijeđenog puta (u kilometrima). Vozeći stalnom brzinom Zlatko za 1 h prijeđe 50 km, za 2 h prijeđe 100 km, ..., za x sati prijeđe 50 · x kilometara.
Dakle, jednadžba promatrane linearne ovisnosti glasi y = 50x.
Zadatak 2.
Slika prikazuje graf ovisnosti prijeđenog puta (u kilometrima) o količini potrošenog benzina (u litrama) automobila marke XY, uz pretpostavku jednolike potrošnje benzina.
Odgovori na sljedeća pitanja pomoću grafa.
Zadatak 3.
U sljedećem zadatku uvježbaj čitanje podataka iz grafičkog prikaza linearne ovisnosti. Pročitaj postavljeno pitanje, zatim s grafa iščitaj vrijednost nepoznate koordinate odgovarajuće točke i upiši svoj odgovor.
Vježbu možeš ponoviti više puta jer se pitanja nasumično odabiru kao u „beskonačnoj” zbirci zadataka.
Primjer 2. Usluga vučne službe
Vučna služba naplaćuje svoj dolazak 50 kuna i još 2 kune po svakom prijeđenom kilometru.
U uslugu prijevoza uključen je dolazak do mjesta intervencije te prijevoz, odnosno vuča do odredišta i povratak u bazu.
(okreni karticu)
a) Zapišimo formulom ovisnost iznosa računa o broju prijeđenih kilometara.
b) Nacrtajmo grafički prikaz te linearne ovisnosti.
c) Koliko treba platiti uslugu prijevoza vučnom službom na udaljenosti od 15 km?
d) Koliko daleko je vučna služba vozila ako je za uslugu prijevoza plaćeno 140 kuna?
Pokušaj samostalno riješiti zadatak u bilježnicu, a u nastavku možeš proučiti objašnjenja i provjeriti svoja rješenja.
Zadatak 4.
Dva biciklista A i B kretali su se stalnom brzinom bez zaustavljanja. Koristeći se grafom odgovori na sljedeća pitanja.
Primjer 3. Taksi prijevoznici
U jednom gradu postoje dva taksi prijevoznika. Svoje usluge naplaćuju prema sljedećem cjeniku.
taksi prijevoznik A: start 10 kuna, cijena po prijeđenom kilometru 6 kuna
taksi prijevoznik B: start 30 kuna, svaki prijeđeni kilometar 2 kune
(okreni karticu)
a) Iskažimo formulom linearne ovisnosti koje opisuju obje usluge.
b) Nacrtajmo grafički prikaz obje linearne ovisnosti u istoj koordinatnoj ravnini.
c) Za koju udaljenost će iznos računa biti jednak kod oba taksi prijevoznika?
d) Odredimo koja je usluga povoljnija.
Zadatak 5.
Na slici je prikazan grafički prikaz dviju ponuda pečenja kolača OPG-a Slatkić. Koristeći se grafičkim prikazom riješi zadatke u nastavku.