Primjena linearne ovisnosti u praktičnim zadatcima 1

Primjer 1.

Martina je prije putovanja na more dobila džeparac od 360 kuna. Odlučila ga je trošiti ravnomjerno tako da svaki dan, koji provede na moru, potroši po 40 kuna.

a) Zapišimo formulom ovisnost koja opisuje iznos preostalog novca ovisno o broju dana koje Martina provede na moru. Je li ta ovisnost linearna?

b) Izračunajmo koliko je Martini ostalo novca nakon 3 dana provedena na moru.

c) Koliko najviše dana može Martina provesti na moru prije nego što potroši džeparac?

RJEŠENJE

Rješenje a)

S [latex]x[/latex] označimo broj dana provedenih na moru, a s [latex]y[/latex] iznos preostalog novca.
Martina će za [latex]x[/latex] dana potrošiti [latex]40x[/latex] kuna.
Na početku je imala [latex]360[/latex] kuna, pa će joj nakon [latex]x[/latex] dana preostati [latex]y=360-40x[/latex] kuna.

Dakle, formula [latex]y=-40x+360[/latex] opisuje ovisnost iznosa preostalog novca o broju dana provedenih na moru. Ovisnost je očito linearna.

Rješenje b)

Uvrštavanjem [latex]x=3[/latex] u formulu dobit ćemo [latex]y=-40 \cdot 3 + 360[/latex], tj. [latex]y=240[/latex], što znači da je Martini nakon 3 dana provedena na moru ostalo [latex]240[/latex] kuna.

Rješenje c)

Kad Martina potroši džeparac, ostat će joj zapravo 0 kuna. Uvrštavanjem [latex]y=0[/latex] u formulu dobit ćemo [latex]0=-40x + 360[/latex] odakle je [latex]40x=360[/latex], pa je [latex]x=9[/latex], što znači da Martina može provesti najviše [latex]9[/latex] dana na moru prije nego što potroši džeparac.

Zadatak 2. Potrošnja goriva

Mario je krenuo na put automobilom vozeći se stalnom brzinom. Prosječna potrošnja goriva automobila, pri vožnji stalnom brzinom, je 0.08 litara po kilometru.

Na put je krenuo s 45 litara benzina u spremniku za gorivo.

Zadatak 3. Kupovina računala

Dejanira želi zaraditi novac za kupovinu novog računala. Pomaže susjedima čuvanjem prvašića Petra dok se njegovi roditelji ne vrate s posla. Za sat vremena čuvanja susjedi joj plaćaju 15 kuna.

Odlučila je i štedjeti na način da na kraju svakog mjeseca odvoji 50 kuna od svog mjesečnog džeparca.

Zadatak 4. Temperatura u hladnjaku

Markovi roditelji kupili su novi hladnjak. Temperatura u hladnjaku prije uključivanja iznosila je 20°C.

U uputama piše da se temperatura u hladnjaku smanjuje za 0.3°C svake minute od uključenja hladnjaka, sve dok se ne postigne odabrana temperatura. Optimalna temperatura u hladnjaku iznosi 4°C.

Primjer 2.

a) Kako opseg kvadrata ovisi o duljini stranice? Je li ta ovisnost linearna?

b) Kako masa tvari određene gustoće ovisi o volumenu te tvari? Je li ta ovisnost linearna?

c) Kako prijeđeni put ovisi o proteklom vremenu, pri kretanju stalnom brzinom? Je li ta ovisnost linearna?

RJEŠENJE

Rješenje a)

Uz standardne oznake [latex]a[/latex] za duljinu stranice kvadrata i [latex]o[/latex] za opseg kvadrata, opseg kvadrata jest [latex]o=4a[/latex] i ta je ovisnost očito linearna.

Naime, kada bismo duljinu stranice kvadrata označili s [latex]x[/latex], a opseg kvadrata s [latex]y[/latex], tada bismo ovisnost opsega kvadrata o duljini stranice zapisali formulom [latex]y=4x[/latex] odakle je vidljivo da je ta ovisnost oblika [latex]y=ax[/latex], te je ta ovisnost linearna.

Rješenje b)

Masa [latex]m[/latex] neke tvari, čija je gustoća [latex]\rho[/latex], ovisi o volumenu [latex]V[/latex] te tvari prema formuli [latex]m=\rho \cdot V[/latex]. Ta je ovisnost također linearna.

Ako je volumen [latex]V[/latex] izražen u [latex]\text{m}^{3}[/latex], a gustoća [latex]\rho[/latex] u [latex]\frac{\text{kg}}{\text{m}^{3}}[/latex], onda će masa [latex]m[/latex] biti izražena u [latex]\text{kg}[/latex].

Rješenje c)

Prijeđeni put [latex]s[/latex] ovisi o proteklom vremenu [latex]t[/latex], pri kretanju stalnom brzinom [latex]v[/latex], prema formuli [latex]s=v \cdot t[/latex]. I ova je ovisnost linearna.

Ako je proteklo vrijeme [latex]t[/latex] izraženo u [latex]\text{h}[/latex], a stalna brzina [latex]v[/latex] u [latex]\frac{\text{km}}{\text{h}}[/latex], onda će duljina puta [latex]s[/latex] biti izražena u [latex]\text{km}[/latex].

Primjer 3.

a) Gustoća neke tvari iznosi [latex]0.5\;\frac{\text{kg}}{\text{dm}^{3}}[/latex]. Kolika je masa [latex]10[/latex] litara te tvari? Koliki je volumen [latex]8[/latex] kg te tvari?

b) Motociklist se kreće stalnom brzinom od [latex]60\text{ km/h}[/latex]. Koliki će put motociklist prijeći za pola sata? Koliko vremena treba motociklistu da prijeđe [latex]150[/latex] km?

RJEŠENJE

Rješenje a)

Masa [latex]m[/latex] tvari (u [latex]\text{kg}[/latex]), čija je gustoća [latex]0.5\;\frac{\text{kg}}{\text{dm}^{3}}[/latex], linearno ovisi o volumenu [latex]V[/latex] te tvari (u [latex]{\text{dm}^{3}}[/latex]) prema formuli:
[latex]m=0.5\cdot V[/latex].

Kolika je masa 10 litara te tvari?

Uvrštavanjem [latex]V=10[/latex] u formulu dobit ćemo [latex]m=0.5 \cdot 10[/latex], tj. [latex]m=5[/latex], što znači da je masa [latex]10[/latex] litara te tvari jednaka [latex]5\text{ kg}[/latex].
(Ne zaboravi da vrijedi: 1 litra = 1 dm3)

Koliki je volumen 8 kilograma te tvari?

Uvrštavanjem [latex]m=8[/latex] u formulu dobit ćemo [latex]8=0.5\cdot V[/latex], tj. [latex]V=16[/latex], što znači da je volumen [latex]8[/latex] kilograma te tvari jednak [latex]16[/latex] litara.

Rješenje b)

Prijeđeni put [latex]s[/latex] (u [latex]\text{km}[/latex]) linearno ovisi o proteklom vremenu [latex]t[/latex] (u [latex]\text{h}[/latex]), pri kretanju stalnom brzinom od [latex]60\text{ km/h}[/latex], prema formuli:
[latex]s=60\cdot t[/latex].

Koliki će put motociklist prijeći za pola sata?

Uvrštavanjem [latex]t=0.5[/latex] u formulu dobit ćemo [latex]s=60 \cdot 0.5[/latex], tj. [latex]s=30[/latex], što znači da će za [latex]0.5[/latex] sati motociklist prijeći [latex]30\text{ km}[/latex].

Koliko vremena treba motociklistu da prijeđe 150 km?

Uvrštavanjem [latex]s=150[/latex] u formulu dobit ćemo [latex]150=60\cdot t[/latex], tj. [latex]t=2.5[/latex], što znači da će [latex]150\text{ km}[/latex] motociklist prijeći za [latex]2.5[/latex] sata.

Zadatak 5. Maslinovo ulje

Gustoća jestivog ulja kreće se u rasponu od [latex]0.75\;\frac{\text{kg}}{\text{dm}^{3}}[/latex] do [latex]0.995\;\frac{\text{kg}}{\text{dm}^{3}}[/latex].

Maslinovo ulje ima gustoću [latex]0.92\;\frac{\text{kg}}{\text{dm}^{3}}[/latex].

Zadatak 6. Vožnja automobilom

Jerko je krenuo na put vozeći se stalnom brzinom od 70 kilometara na sat, bez zaustavljanja na putu.

Primjena linearne ovisnosti u praktičnim zadatcima 1

Uvod

Ponovimo

Zadatak 1.

Linearna ovisnost ili ne?

Pažljivo pročitaj zadatak i odredi je li ovisnost zadanih veličina linearna ili nije linearna.

Primjer 1.

Martina je prije putovanja na more dobila džeparac od 360 kuna. Odlučila ga je trošiti ravnomjerno tako da svaki dan, koji provede na moru, potroši po 40 kuna.

a) Zapišimo formulom ovisnost koja opisuje iznos preostalog novca ovisno o broju dana koje Martina provede na moru. Je li ta ovisnost linearna?

b) Izračunajmo koliko je Martini ostalo novca nakon 3 dana provedena na moru.

c) Koliko najviše dana može Martina provesti na moru prije nego što potroši džeparac?

RJEŠENJE

Rješenje a)

S [latex]x[/latex] označimo broj dana provedenih na moru, a s [latex]y[/latex] iznos preostalog novca.
Martina će za [latex]x[/latex] dana potrošiti [latex]40x[/latex] kuna.
Na početku je imala [latex]360[/latex] kuna, pa će joj nakon [latex]x[/latex] dana preostati [latex]y=360-40x[/latex] kuna.

Dakle, formula [latex]y=-40x+360[/latex] opisuje ovisnost iznosa preostalog novca o broju dana provedenih na moru. Ovisnost je očito linearna.

Rješenje b)

Uvrštavanjem [latex]x=3[/latex] u formulu dobit ćemo [latex]y=-40 \cdot 3 + 360[/latex], tj. [latex]y=240[/latex], što znači da je Martini nakon 3 dana provedena na moru ostalo [latex]240[/latex] kuna.

Rješenje c)

Kad Martina potroši džeparac, ostat će joj zapravo 0 kuna. Uvrštavanjem [latex]y=0[/latex] u formulu dobit ćemo [latex]0=-40x + 360[/latex] odakle je [latex]40x=360[/latex], pa je [latex]x=9[/latex], što znači da Martina može provesti najviše [latex]9[/latex] dana na moru prije nego što potroši džeparac.

Zadatak 2.

Potrošnja goriva

Mario je krenuo na put automobilom vozeći se stalnom brzinom. Prosječna potrošnja goriva automobila, pri vožnji stalnom brzinom, je 0.08 litara po kilometru.

Na put je krenuo s 45 litara benzina u spremniku za gorivo.

Zadatak 3.

Kupovina računala

Dejanira želi zaraditi novac za kupovinu novog računala. Pomaže susjedima čuvanjem prvašića Petra dok se njegovi roditelji ne vrate s posla. Za sat vremena čuvanja susjedi joj plaćaju 15 kuna.

Odlučila je i štedjeti na način da na kraju svakog mjeseca odvoji 50 kuna od svog mjesečnog džeparca.

Zadatak 4.

Temperatura u hladnjaku

Markovi roditelji kupili su novi hladnjak. Temperatura u hladnjaku prije uključivanja iznosila je 20°C.

U uputama piše da se temperatura u hladnjaku smanjuje za 0.3°C svake minute od uključenja hladnjaka, sve dok se ne postigne odabrana temperatura. Optimalna temperatura u hladnjaku iznosi 4°C.

Nauči

Primjer 2.

a) Kako opseg kvadrata ovisi o duljini stranice? Je li ta ovisnost linearna?

b) Kako masa tvari određene gustoće ovisi o volumenu te tvari? Je li ta ovisnost linearna?

c) Kako prijeđeni put ovisi o proteklom vremenu, pri kretanju stalnom brzinom? Je li ta ovisnost linearna?

RJEŠENJE

Rješenje a)

Uz standardne oznake [latex]a[/latex] za duljinu stranice kvadrata i [latex]o[/latex] za opseg kvadrata, opseg kvadrata jest [latex]o=4a[/latex] i ta je ovisnost očito linearna.

Naime, kada bismo duljinu stranice kvadrata označili s [latex]x[/latex], a opseg kvadrata s [latex]y[/latex], tada bismo ovisnost opsega kvadrata o duljini stranice zapisali formulom [latex]y=4x[/latex] odakle je vidljivo da je ta ovisnost oblika [latex]y=ax[/latex], te je ta ovisnost linearna.

Rješenje b)

Masa [latex]m[/latex] neke tvari, čija je gustoća [latex]\rho[/latex], ovisi o volumenu [latex]V[/latex] te tvari prema formuli [latex]m=\rho \cdot V[/latex]. Ta je ovisnost također linearna.

Ako je volumen [latex]V[/latex] izražen u [latex]\text{m}^{3}[/latex], a gustoća [latex]\rho[/latex] u [latex]\frac{\text{kg}}{\text{m}^{3}}[/latex], onda će masa [latex]m[/latex] biti izražena u [latex]\text{kg}[/latex].

Rješenje c)

Prijeđeni put [latex]s[/latex] ovisi o proteklom vremenu [latex]t[/latex], pri kretanju stalnom brzinom [latex]v[/latex], prema formuli [latex]s=v \cdot t[/latex]. I ova je ovisnost linearna.

Ako je proteklo vrijeme [latex]t[/latex] izraženo u [latex]\text{h}[/latex], a stalna brzina [latex]v[/latex] u [latex]\frac{\text{km}}{\text{h}}[/latex], onda će duljina puta [latex]s[/latex] biti izražena u [latex]\text{km}[/latex].

Primjer 3.

a) Gustoća neke tvari iznosi [latex]0.5\;\frac{\text{kg}}{\text{dm}^{3}}[/latex]. Kolika je masa [latex]10[/latex] litara te tvari? Koliki je volumen [latex]8[/latex] kg te tvari?

b) Motociklist se kreće stalnom brzinom od [latex]60\text{ km/h}[/latex]. Koliki će put motociklist prijeći za pola sata? Koliko vremena treba motociklistu da prijeđe [latex]150[/latex] km?

RJEŠENJE

Rješenje a)

Masa [latex]m[/latex] tvari (u [latex]\text{kg}[/latex]), čija je gustoća [latex]0.5\;\frac{\text{kg}}{\text{dm}^{3}}[/latex], linearno ovisi o volumenu [latex]V[/latex] te tvari (u [latex]{\text{dm}^{3}}[/latex]) prema formuli:
[latex]m=0.5\cdot V[/latex].

Kolika je masa 10 litara te tvari?

Uvrštavanjem [latex]V=10[/latex] u formulu dobit ćemo [latex]m=0.5 \cdot 10[/latex], tj. [latex]m=5[/latex], što znači da je masa [latex]10[/latex] litara te tvari jednaka [latex]5\text{ kg}[/latex].
(Ne zaboravi da vrijedi: 1 litra = 1 dm3)

Koliki je volumen 8 kilograma te tvari?

Uvrštavanjem [latex]m=8[/latex] u formulu dobit ćemo [latex]8=0.5\cdot V[/latex], tj. [latex]V=16[/latex], što znači da je volumen [latex]8[/latex] kilograma te tvari jednak [latex]16[/latex] litara.

Rješenje b)

Prijeđeni put [latex]s[/latex] (u [latex]\text{km}[/latex]) linearno ovisi o proteklom vremenu [latex]t[/latex] (u [latex]\text{h}[/latex]), pri kretanju stalnom brzinom od [latex]60\text{ km/h}[/latex], prema formuli:
[latex]s=60\cdot t[/latex].

Koliki će put motociklist prijeći za pola sata?

Uvrštavanjem [latex]t=0.5[/latex] u formulu dobit ćemo [latex]s=60 \cdot 0.5[/latex], tj. [latex]s=30[/latex], što znači da će za [latex]0.5[/latex] sati motociklist prijeći [latex]30\text{ km}[/latex].

Koliko vremena treba motociklistu da prijeđe 150 km?

Uvrštavanjem [latex]s=150[/latex] u formulu dobit ćemo [latex]150=60\cdot t[/latex], tj. [latex]t=2.5[/latex], što znači da će [latex]150\text{ km}[/latex] motociklist prijeći za [latex]2.5[/latex] sata.

Zadatak 5.

Maslinovo ulje

Gustoća jestivog ulja kreće se u rasponu od [latex]0.75\;\frac{\text{kg}}{\text{dm}^{3}}[/latex] do [latex]0.995\;\frac{\text{kg}}{\text{dm}^{3}}[/latex].

Maslinovo ulje ima gustoću [latex]0.92\;\frac{\text{kg}}{\text{dm}^{3}}[/latex].

Zadatak 6.

Vožnja automobilom

Jerko je krenuo na put vozeći se stalnom brzinom od 70 kilometara na sat, bez zaustavljanja na putu.