Računanje s realnim brojevima. Brojevni pravac. Intervali

Iz mementa

Skup prirodnih brojeva:

[latex]\boldsymbol{N}[/latex][latex]=\{ 1,2,3,\ldots n, n+1,\ldots\}[/latex]

Skup cijelih brojeva:

[latex]\boldsymbol{Z}[/latex] [latex]=\{ \ldots-n, \ldots, -3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots,n, n+1,\ldots \}[/latex]

Skup racionalnih brojeva:

[latex]\boldsymbol{Q}[/latex] [latex]=\{\frac{m}{n}\colon m\in [/latex][latex]\boldsymbol{Z}[/latex], [latex]n\in [/latex][latex]\boldsymbol{N}[/latex][latex]\}[/latex]

Skup realnih brojeva označava se s [latex]\boldsymbol{R}[/latex].

Svaki realni broj [latex]a[/latex] možemo prikazati u konačnom ili beskonačnom decimalnom zapisu:

[latex]a=\pm a_0.a_1a_2a_3\ldots[/latex]

gdje je [latex]a_0[/latex] prirodni broj ili 0, a [latex]a_1,a_2,a_3,\ldots[/latex] neke od znamenaka 0, 1, 2, 3, ..., 9.

Racionalni brojevi mogu imati konačan ili beskonačan periodički decimalni zapis, a iracionalni brojevi imaju beskonačan neperiodički decimalni zapis.

Primjer 1

Koliko ima cijelih brojeva u skupu [latex]\{-\sqrt[]{2},\enspace -1,\enspace 0,\enspace \sqrt[]{9},\enspace 6,\enspace \pi^2,\enspace \frac{21}{2}\}[/latex]

Rješenje

U skupu su četiri cijela broja.  To su: [latex]-1,0,\sqrt[]{9},6[/latex].

 

Koliko ima racionalnih brojeva u skupu [latex]\{-3,\enspace \frac{1}{7},\enspace 0,\enspace \frac{\sqrt[]{3}}{2},\enspace 3.14,\enspace \frac{49}{4}\}[/latex]

Rješenje.

U skupu je 5 racionalnih brojeva. To su brojevi:  [latex]-3,-\frac{1}{7},0,3.14,\frac{\sqrt[]{49}}{7}[/latex] .

Zadatak 1

Brojevni pravac. Intervali

Omeđeni intervali:

 [latex]\langle a,b\rangle=\{x\in [/latex][latex]\boldsymbol{R}[/latex][latex]\colon a\lt x\lt b\}[/latex]
otvoreni interval

 

[latex]\lbrack a,b\rbrack=\{x\in[/latex][latex]\boldsymbol{R}[/latex][latex]\colon a\le x\le b\}[/latex]

zatvoreni interval

 

[latex]\langle a,b\rbrack=\{x\in [/latex][latex]\boldsymbol{R}[/latex][latex]\colon a<x\le b\}[/latex]
poluotvoreni ili poluzatvoreni interval

 

[latex]\lbrack a,b\rbrack=\{x\in[/latex][latex]\boldsymbol{R}[/latex] [latex]\colon a\le x<b\}[/latex] 
poluotvoreni ili poluzatvoreni interval

Neomeđeni intervali:

 [latex]\lbrack a,\infty\rangle=\{x\in[/latex][latex]\boldsymbol{R}[/latex] [latex]\colon x\ge a\}[/latex]

 

[latex]\langle a,\infty\rangle=\{x\in[/latex][latex]\boldsymbol{R}[/latex][latex]\colon x\gt a\}[/latex]

 

[latex]\langle-\infty,a\rbrack=\{x\in[/latex][latex]\boldsymbol{R}[/latex][latex] \colon x\le a\}[/latex] 

 

[latex]\langle-\infty,a\rangle=\{x\in[/latex][latex]\boldsymbol{R}[/latex][latex]\colon x\lt a\}[/latex]

Unija skupova A i B je skup koji sadržava sve elemente koji pripadaju skupu A ili skupu B. 

Oznaka: [latex]A\cup B[/latex]

Presjek skupova A i B je skup koji sadržava elemente koji pripadaju i skupu A i skupu B.

Oznaka: [latex]A\cap B[/latex]

Primjer 2

Napišimo po jedan primjer za svaki omeđeni interval u skupovnom i intervalskom zapisu te nacrtaj graf intervala na brojevnom pravcu. Uvijek je [latex]x\in [/latex][latex]\boldsymbol{R}[/latex] pa to nećemo isticati u skupovnom zapisu.

Primjer 3

Napišimo po jedan primjer za svaki neomeđeni interval u skupovnom i intervalskom zapisu te nacrtajmo graf intervala na brojevnom pravcu.

Primjer 4

Odredite 

a) [latex]\langle3,7\rbrack\cup\lbrack5,14\rangle[/latex]

b) [latex]\langle3,7\rbrack\cap\lbrack5,14\rangle[/latex]

Unija intervala je [latex]A\cup B=\langle3,14\rbrack[/latex]

Presjek intervala je [latex]A\cup B=\lbrack5,7\rbrack[/latex]

Zadatak 2

Primjer 5

Broj [latex]4.217543[/latex] zaokružite na dvije decimale.

Rješenje.

Ukoliko broj treba zaokružiti na dvije decimale - promatramo treću decimalu:

  • ukoliko je treća decimala 5 ili više, drugu decimalu povećavamo za 1. 
  • ukoliko je treća decimala manja od 5, drugu decimalu prepisujemo.

 

Budući da u Primjeru treća decimala iznosi 7, drugu povećavamo za 1 pa broj zaokružen na dvije decimale iznosi 4.22

Izračunajte vrijednost izraza [latex]\frac{5}{6}-\frac{1}{6}\cdot\frac{2}{3}[/latex] .

 

Rješenje.

[latex]\frac{5}{6}-\frac{1}{6}\cdot\frac{2}{3}=\frac{5}{6}-\frac{1}{9}=\frac{3\cdot5-2\cdot1}{18}=\frac{15-2}{18}=\frac{13}{18}[/latex]

Zadatak 3

Računanje s realnim brojevima. Brojevni pravac. Intervali

Procijenite svoje znanje