Algebarski izrazi

Izračunajmo koristeći se pravilima za kvadrat zbroja i razlike.

a) [latex](4x+3)^2[/latex]

b) [latex](x^3-2y)^2[/latex]

Rješenje

a) [latex](4x+3)^2=[/latex]

[latex]=(4x)^2+2\cdot4x\cdot3+3^2[/latex]

[latex]=16x^2+24x+9[/latex]

b) [latex](x^3-2y)^2=[/latex]

[latex]=(x^3)^2-2\cdot x^3\cdot 2y+(2y)^2[/latex]

[latex]=x^6-4x^3y+4y^2[/latex]

Izračunajmo koristeći se pravilima za kub zbroja i razlike.

a) [latex](2x+5)^3[/latex]

b) [latex](x-3y)^3[/latex]

Rješenje

a) [latex](2x+5)^3=[/latex]

[latex]=(2x)^3 +3\cdot (2x)^2\cdot 5 + 3\cdot 2x \cdot 5^2 + 5^3[/latex]

[latex]=8x^3+60x^2+150x+125[/latex]

b) [latex](x-3y)^3=[/latex]

[latex]=x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3y + 3 \cdot x \cdot (3y)^2 - (3y)^3[/latex]

[latex]=x^3 - 9x^2y + 27xy^2-27y^3[/latex]

Izračunajmo koristeći se pravilom za razliku kvadrata.

a) [latex](2x^3+5)(2x^3-5)[/latex]

b) [latex](7-\sqrt{5})(7+\sqrt{5})[/latex]

Rješenje

a) [latex](2x^3+5)(2x^3-5)=[/latex]

[latex]=(2x^3)^2-5^2[/latex]

[latex]=4x^6-25[/latex]

b) [latex](7-\sqrt{5})(7+\sqrt{5})=[/latex]

[latex]=7^2-\sqrt{5}^2[/latex]

[latex]=49-5=44[/latex]

Zapišimo u obliku umnoška.

a)   [latex]x^2-4[/latex]

b)   [latex]4x^2-25[/latex]

Rješenje

a)  [latex]x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2)[/latex]

b)   [latex]4x^2-25=(2x)^2-5^2=(2x-5)(2x+5)[/latex]

Izračunajmo koristeći se pravilima za zbroj i razliku kubova.

a) [latex](y-3)(y^2+3y+9)[/latex]

b) [latex](2a^2+5b)(4a^4-10a^2b+25b^2)[/latex]

Rješenje

a) [latex](y-3)(y^2+3y+9)=[/latex]

[latex]=(y-3)(y^2+y\cdot 3+3^2)[/latex]

[latex]=y^3-3^3[/latex]

[latex]=y^3-27[/latex]

b) [latex](2a^2+5b)(4a^4-10a^2b+25b^2)=[/latex]

[latex]=(2a^2+5b)[(2a^2)^2-2a^2\cdot5b+(5b)^2][/latex]

[latex]=(2a^2)^3+(5b)^3[/latex]

[latex]=8a^6+125b^3[/latex]

Zapišimo u obliku umnoška.

a)   [latex]x^3-8[/latex]

b)   [latex]a^3+125[/latex]

Rješenja.

a)  [latex]x^3-8=x^2-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)[/latex]

b)  [latex]a^3+125=a^3+5^3=(a+5)(a^2-5a+25)[/latex]