Algebarski razlomci

Neke polinome možemo faktorizirati tako da njihove monome grupiramo u dvije ili više grupa pa iz svake grupe izlučimo njezin zajednički faktor.

Grupirajmo pa faktorizirajmo zadane polinome.

a) [latex]x^3+2x^2+x+2[/latex]

b) [latex]ax+by-bx-ay[/latex]

Rješenje

a) Grupirajmo prvi i drugi pribrojnik, te treći i četvrti pribrojnik:

[latex](x^3+2x^2)+(x+2)[/latex]

kako bi mogli iz svake grupe izlučiti zajednički faktor:

[latex]x^2(x+2)+1\cdot(x+2)[/latex].

Izlučimo zatim zajednički faktor svih grupa, [latex](x+2)[/latex]:

[latex](x+2)(x^2+1)[/latex].

b) Grupirajmo prvi i četvrti pribrojnik, te drugi i treći pribrojnik:

[latex](ax-ay)+(by-bx)[/latex]

kako bi mogli iz svake grupe izlučiti zajednički faktor:

[latex]a(x-y)+b(y-x)[/latex].

Uočimo da vrijedi

[latex]y-x=-(x-y)[/latex]

pa imamo

[latex]a(x-y)-b(x-y)[/latex].

Sada možemo izlučiti zajednički faktor svih grupa, [latex](x-y)[/latex]:

[latex](x-y)(a-b)[/latex].

Pri faktorizaciji često kombiniramo metode pa se u istom zadatku koristimo i izlučivanjem i grupiranjem i formulama.

Faktorizirajmo zadane izraze.

a) [latex]x^2y-x^2+4xy-4x+4y-4[/latex]

b) [latex]a^2-4ab+4b^2-4[/latex]

c) [latex]-6xy^7+6xy[/latex]

Rješenje

a) Prvo ćemo grupirati:

[latex](x^2y-x^2)+(4xy-4x)+(4y-4)[/latex]

pa izlučiti zajednički faktor u svakoj grupi:

[latex]x^2(y-1)+4x(y-1)+4(y-1)[/latex].

Zatim izlučimo zajednički faktor svih grupa:

[latex](y-1)(x^2+4x+4)[/latex].

Primjetimo da na drugi faktor možemo primjeniti formulu kvadrat zbroja:

[latex](y-1)(x+2)^2[/latex].

b) Prvo ćemo grupirati:

[latex](a^2-4ab+4b^2)-4[/latex]

kako bi mogli na prvu grupu primijeniti formulu kvadrat razlike:

[latex](a-2b)^2-4[/latex].

Sada primjetimo formulu razlika kvadrata:

[latex](a-2b)^2-2^2[/latex]

i primjenimo je:

[latex](a-2b-2)(a-2b+2)[/latex].

c) Prvo ćemo izlučiti zajednički faktor iz svih pribrojnika:

[latex]6xy(-y^6+1)[/latex].

Primjetimo formulu razlika kvadrata:

[latex]6xy(1-y^6)=6xy(1^2-(y^3)^2)[/latex]

i primjenimo je:

[latex]6xy(1-y^3)(1+y^3)[/latex].

Algebarski razlomak možemo skratiti ukoliko brojnik i nazivnik imaju zajednički faktor. Vidjet ćemo koji su im faktori zajednički ako i brojnik i nazivnik rastavimo na faktore.

Skratimo zadane razlomke.

a) [latex]\frac{4x}{x^2+x}[/latex]

b) [latex]\frac{a^2-4}{a^2+4a+4}[/latex]

c) [latex]\frac{2x+4}{x^2+4x+4}[/latex]

Rješenje

a) Faktorizirajmo nazivnik.

[latex]\frac{4x}{x(x+1)}[/latex]

Sada vidimo da je zajednički faktor brojnika i nazivnika [latex]x[/latex] pa ga možemo pokratiti.

[latex]\frac{4}{x+1}[/latex]

b) Faktorizirajmo brojnik i nazivnik. Uočimo da se u brojniku nalazi razlika kvadrata dok se u nazivniku nalazi kvadrat binoma (kvadrat zbroja).

[latex]\frac{a^2-4}{a^2+4a+4}=\frac{(a-2)(a+2)}{(a+2)^2}[/latex]

Sada vidimo da je zajednički faktor brojnika i nazivnika [latex]a+2[/latex] pa ga možemo pokratiti.

Konačno je rješenje: [latex]\frac{a-2}{a+2}[/latex]

c) Faktorizirajmo i brojnik i nazivnik.

[latex]\frac{2(x+2)}{(x+2)^2}[/latex]

Sada vidimo da je zajednički faktor brojnika i nazivnika [latex]x+2[/latex] pa ga možemo pokratiti.

[latex]\frac{2}{x+2}[/latex]

Algebarske razlomke množimo tako da brojnik pomnožimo brojnikom, a nazivnik nazivnikom.

Dijeljenje algebarskih razlomaka svodimo na množenje recipročnom vrijednošću djelitelja.

a) Pomnožimo.

[latex]\frac{x-1}{x^2+4x+4}\cdot\frac{x+2}{x^2-1}[/latex]

b) Podijelimo.

[latex]\frac{a^2-4}{6}:\frac{a-2}{3}[/latex]

Rješenje

a) Faktorizirajmo prvo brojnike i nazivnike obaju razlomaka.

[latex]\frac{x-1}{(x+2)^2}\cdot\frac{x+2}{(x+1)(x-1)}[/latex]

Nakon kraćenja zajedničkih faktora imamo:

[latex]\frac{1}{x+2}\cdot\frac{1}{x+1}=[/latex]

[latex]=\frac{1}{(x+2)(x+1)}[/latex].

b) Dijeljenje svodimo na množenje.

[latex]\frac{a^2-4}{6}\cdot\frac{3}{a-2}[/latex]

Faktorizirajmo brojnike i nazivnike obaju razlomaka.

[latex]\frac{(a-2)(a+2)}{6}\cdot\frac{3}{a-2}[/latex]

Nakon kraćenja zajedničkih faktora imamo:

[latex]\frac{(a+2)}{2}\cdot\frac{1}{1}=[/latex]

[latex]=\frac{a+2}{2}[/latex].

a) Zbrojimo algebarske razlomke.

[latex]\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}[/latex]

b) Oduzmimo algebarske razlomke.

[latex]\frac{3}{x+y}-\frac{4}{y}[/latex]

Rješenje

a) Proširimo prvi razlomak.

[latex]\frac{3\cdot x}{x\cdot x}+\frac{4}{x^2}=[/latex]

[latex]=\frac{3x}{x^2}+\frac{4}{x^2}[/latex]

Zbrojimo dobivene razlomke istog nazivnika.

[latex]\frac{3x+4}{x^2}[/latex]

b) Proširimo oba razlomka do zajedničkog nazivnika.

[latex]\frac{3\cdot y}{(x+y)\cdot y}-\frac{4 \cdot (x+y)}{y \cdot (x+y)}=[/latex]

[latex]=\frac{3y}{y(x+y)}-\frac{4x+4y}{y(x+y)}[/latex]

Oduzmimo dobivene razlomke istog nazivnika.

[latex]\frac{3y-(4x+4y)}{y(x+y)}=[/latex]

[latex]=\frac{3y-4x-4y}{y(x+y)}[/latex]

[latex]=\frac{-4x-y}{y(x+y)}[/latex]

Pogledajmo jedan primjer složenijeg računa s algebarskim razlomcima.

Izračunajmo.

[latex]\frac{a+6}{a^2-9} : \left(\frac{a}{a-3}-\frac{a+4}{a+3}\right)[/latex]

Rješenje

[latex]\frac{a+6}{a^2-9} : \left(\frac{a}{a-3}-\frac{a+4}{a+3}\right)=[/latex]

[latex]=\frac{a+6}{(a-3)(a+3)} : \left(\frac{a(a+3)}{(a-3)(a+3)}-\frac{(a+4)(a-3)}{(a+3)(a-3)}\right)[/latex]

[latex]=\frac{a+6}{(a-3)(a+3)} : \frac{a(a+3)-(a+4)(a-3)}{(a+3)(a-3)}[/latex]

[latex]=\frac{a+6}{(a-3)(a+3)} : \frac{a^2+3a-a^2+3a-4a+12}{(a+3)(a-3)}[/latex]

[latex]=\frac{a+6}{(a-3)(a+3)} : \frac{2a+12}{(a+3)(a-3)}[/latex]

[latex]=\frac{a+6}{(a-3)(a+3)} : \frac{2(a+6)}{(a+3)(a-3)}[/latex]

[latex]=\frac{a+6}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{(a+3)(a-3)}{2(a+6)}[/latex]

[latex]=\frac{1}{2}[/latex]