Linearne nejednadžbe i sustavi linearnih nejednadžbi s jednom nepoznanicom

Iz mementa

Linearna nejednadžba s jednom nepoznanicom nejednadžba je koja se može prevesti u njoj ekvivalentnu nejednadžbu oblika:

 [latex]ax<b[/latex], [latex]ax\le{b}[/latex], [latex]ax>b[/latex] ili [latex]ax\ge{b}[/latex], gdje je [latex]a\ne0[/latex] i [latex]a,b\in[/latex] [latex]\boldsymbol{R}[/latex].

Ako je broj s kojim množimo ili dijelimo nejednadžbu pozitivan, znak nejednakosti se ne mijenja, a ako je negativan, znak nejednakosti se mijenja.

Linearne nejednadžbe možemo riješavati i grafički:

linearni algebarski izraz [latex]ax+b[/latex] grafički predstavljamo pravcem [latex]y=ax+b[/latex] koji raste ako je [latex]a>0[/latex], a pada ako je [latex]a<0[/latex], vrijednost nula ima u nultočki [latex]x_0=-\frac{b}{a}[/latex].

Primjer 1

Riješimo nejednadžbe.

a) [latex]-3x-2>7[/latex]

b) [latex]\frac{1}{2}x-4\le\frac{1}{4}x+1[/latex]

Rješenje

a) [latex]-3x-2>7[/latex]

[latex]-3x>9/\colon(-3)[/latex]

[latex]x<-3[/latex]

Rješenje možemo zapisati kao interval [latex]x\in[/latex] ⟨[latex]-\infty,-3[/latex]⟩.

b) [latex]\frac{1}{2}x-4\le\frac{1}{4}x+1/\cdot4[/latex]

[latex]2x-16\le{x}+4[/latex]

[latex]x\le{20}[/latex] ili [latex]x\in[/latex] ⟨[latex]-\infty,20\rbrack[/latex].

Zadatak 1

Primjer 2

Za koji realan broj [latex]a[/latex] rješenje jednadžbe [latex]x+3a=\frac{5x-a}{2}+1[/latex] je:

a) pozitivan broj

b) manje od [latex]\frac{3}{4}[/latex]?

Rješenje

Najprije nađemo rješenje zadane jednadžbe:

[latex]x+3a=\frac{5x-a}{2}+1/\cdot2[/latex]

[latex]2x+6a=5x-a+2[/latex]

[latex]3x=7a-2[/latex]

[latex]x=\frac{7a-2}{3}[/latex] 

a) pozitivan broj     [latex]\Rightarrow x>0[/latex] 

 [latex]\Rightarrow\frac{7a-2}{3}>0[/latex]

 [latex]\Rightarrow{a}>\frac{2}{7}[/latex]

 

b) manje od [latex]\frac{3}{4}[/latex]        [latex]\Rightarrow x<\frac{3}{4}[/latex] 

[latex]\Rightarrow\frac{7a-2}{3}<\frac{3}{4}[/latex]

[latex]\Rightarrow{a}<\frac{17}{28}[/latex]

Zadatak 2

Primjer 3

Riješimo sustave nejednadžbi.

a) [latex]2x-1>7[/latex]

[latex]\underline{3-x\le2}[/latex]

b) [latex]4-3x<-2[/latex]

[latex]\underline{3x+6\le-6}[/latex]

c) [latex]-\frac{2}{3}x<4[/latex]

[latex]\underline{\frac{3}{4}x<6}[/latex]

Rješenje

Rješenje sustava mora zadovoljavati i jednu i drugu nejednadžbu pa ćemo riješiti svaku posebno i naći presjek njihovih rješenja.

a) [latex]2x-1>7[/latex]

[latex]\underline{3-x\le2}[/latex]

[latex]2x-1>7[/latex]        [latex]\Rightarrow{x>4}[/latex]  

[latex]{3-x\le2}[/latex]          [latex]\Rightarrow{x\ge1}[/latex]

Skup rješenja sustava je ⟨[latex]4,\infty[/latex]⟩ [latex]\cap[/latex] [[latex]1,\infty[/latex]⟩ [latex]=[/latex] ⟨[latex]4,\infty[/latex]⟩.

b) [latex]4-3x<-2[/latex]           [latex]\Rightarrow{x>2}[/latex]

[latex]\underline{3x+6\le-6}[/latex]         [latex]\Rightarrow{x\le-4}[/latex]

Zadani sustav nema rješenja jer je ⟨[latex]2,\infty[/latex]⟩ [latex] \cap[/latex] ⟨[latex]-\infty,8\rbrack = \emptyset[/latex]

c) [latex]-\frac{2}{3}x<4[/latex]        [latex]\Rightarrow{x>-6}[/latex]

[latex]\underline\frac{3}{4}x<6[/latex]         [latex]\Rightarrow{x<8}[/latex]

Rješenje sustava je ⟨[latex]-6,\infty[/latex]⟩ [latex] \cap [/latex] ⟨[latex]-\infty,8[/latex]⟩ [latex]=[/latex] ⟨[latex]-6,8[/latex]⟩.

Zadatak 3

Primjer 4

Zadatak 4

Linearne nejednadžbe i sustavi linearnih nejednadžbi s jednom nepoznanicom

Procijenite svoje znanje