Primjena linearne funkcije. Graf funkcije apsolutne vrijednosti

Poznato je da brojevi cipela nemaju istu vrijednost u različitim zemljama. Kod nas i u većini zemalja Europe broj cipela određen je funkcijom [latex]B(x)=x+14[/latex], gdje je [latex]x[/latex] duljina stopala u centimetrima.

a) Koji broj cipela nosi Filip ako mu je stopalo dugo [latex]27 \; \text{cm}[/latex]?

b) Ako Nera nosi broj cipela [latex]38[/latex], koliko joj je dugo stopalo?

c) Lari je stopalo od 6. razreda naraslo za [latex]2.5 \; \text{cm}[/latex]. Ako je u 6. razredu nosila broj cipela [latex]36[/latex], koji broj sada nosi?

Rješenje

a) [latex]B(27)=27+14[/latex].

     [latex]B(27)=41[/latex].

     Filip nosi broj [latex]41[/latex].

b) [latex]38=x+14\;\;\;\Rightarrow\;\;\; x=24[/latex].

     Nerino je stopalo dugo [latex]24\;\text{cm}[/latex].

c) Prvo ćemo izračunati duljinu Larinog stopala u 6. razredu.

     [latex]36=x+14\;\;\;\Rightarrow \;\;\;x=22\;\text{cm}[/latex].

     Od 6. razreda duljina stopala je narasla za [latex]2.5\;\text{cm}[/latex], te sada iznosi [latex]22+2.5=24.5\;\text{cm}[/latex].

     [latex]B(24.5)=24.5+14[/latex].

     [latex]B(24.5)=38.5[/latex].

     Lara sada nosi broj [latex]38.5[/latex].

Sara smije izlaziti petkom, subotom i nedjeljom. Njezini roditelji, u želji da ona što bolje shvati linearnu funkciju, odredili su joj vrijeme trajanja izlaska funkcijom: [latex]y=-\frac{5}{2}x+23[/latex].

Ako Sara kasni [latex]x[/latex] sati, sljedeći joj izlazak traje do [latex]y[/latex] sati.

a) Do kada Sara smije ostati vani ako ne kasni?

b) Do kada Sara smije ostati u subotu ako je u petak kasnila [latex]10[/latex] minuta?

c) Koliko je kasnila u subotu ako joj je u nedjelju izlazak dopušten do [latex]22[/latex] sata?

Rješenje

a) Zakašnjenje je [latex]x=0[/latex], pa je [latex]y=23[/latex].

    Sari je u subotu dopušten izlazak do [latex]23[/latex] sata.

b) Sara je kasnila [latex]x=10\;\text{min}=\frac{10}{60}\;\text{h}=\frac{1}{6}\;\text{h}[/latex].

   [latex]y\left(\frac{1}{6}\right)=-\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{6}+23[/latex]     

   [latex]\;=22+1-\frac{5}{12}[/latex]

   [latex]\;=22+\frac{7}{12}[/latex]    

            [latex]\;\;\;\;\Rightarrow\;22\;\text{h}+\frac{7}{12}\cdot 60\;\text{min}=22\;\text{h}\;35\;\text{min}[/latex].

   Ako je Sara kasnila [latex]10[/latex] minuta u petak, u subotu ima izlazak do [latex]22[/latex] sata i [latex]35[/latex] minuta.

c) Iz [latex]y=22[/latex] i [latex]y=-\frac{5}{2}x+23[/latex] slijedi:

                  [latex]22=-\frac{5}{2}x+23[/latex]

                  [latex]x=\frac{2}{5}\;\text{h}=\frac{2}{5}\cdot 60\;\text{min}=24\;\text{min}[/latex].

Ako joj je u nedjelju izlazak dopušten do [latex]22[/latex] sata, u subotu je kasnila [latex]24[/latex] minute.

a) Nacrtajmo graf funkcije [latex]y=\lvert{2x+4}\rvert[/latex].

Rješenje

Kako je

[latex]y=|2x+4|=\left\{\begin{array}{rll}y=2x+4 & \text{za} &  x\geq-2 \\ y=-2x-4 & \text{za} & x<-2\end{array}\right.[/latex]

crtamo

[latex]y=2x+4[/latex]       za     [latex]x\ge-2[/latex]   i

[latex]y=-2x-4[/latex]   za     [latex]x<-2[/latex].

b) Nacrtajmo graf funkcije [latex]y=-\lvert{2x}\rvert[/latex].

Rješenje

Kako je 

[latex]y=-|2x|=\left\{\begin{array}{rll}y=-2x & \text{za} & x\geq0 \\ y=2x & \text{za} & x<0\end{array}\right.[/latex]

crtamo

[latex]y=-2x[/latex]   za [latex]x\ge0[/latex]   i

[latex]y=2x[/latex]       za [latex]x<0[/latex].

a) Nacrtajmo graf funkcije [latex]y=\lvert{x}\rvert+1[/latex].

Rješenje

Graf možemo nacrtati na dva načina.

1. način

Kako je 

[latex]|x|+1=\left\{\begin{array}{rll}y=x+1 & \text{za} & x\geq0 \\ y=-x+1 & \text{za} & x<0\end{array}\right.[/latex]

crtamo [latex]y=x+1[/latex] za [latex]x\ge0[/latex]    i 

               [latex]y=-x+1[/latex] za [latex]x<0[/latex].

Drugi način

Svaka vrijednost funkcije [latex]y=\lvert{x}\rvert+1[/latex] dobije se tako da se vrijednostima funkcije [latex]y=\lvert{x}\rvert[/latex] doda [latex]1[/latex], što znači da se graf funkcije [latex]y=\lvert{x}\rvert+1[/latex] dobije pomakom grafa funkcije [latex]y=\lvert{x}\rvert[/latex] u (pozitivnom) smjeru osi [latex]y[/latex] za [latex]1[/latex].

b) Nacrtajmo graf funkcije [latex]y=\lvert{2x-6}\rvert-2[/latex].

Rješenje

Primjenit ćemo zrcaljenje i pomak.

Nacrtajmo pravac [latex]y=2x-6[/latex]. Dio tog pravca koji je ispod osi [latex]x[/latex] zrcalimo s obzirom na os [latex]x[/latex].

Dobili smo graf funkcije [latex]y=\lvert{2x-6}\rvert[/latex]. Njega zatim pomaknemo po osi [latex]y[/latex] za [latex]-2[/latex].