Sukladnost i sličnost trokuta

Iz mementa

Za sve kutove u trokutu vrijedi

[latex]\alpha+\beta+\gamma=180\degree[/latex]

Nasuprot najveće (najmanje) stranice u trokutu nalazi se najveći (najmanji) kut.

Jednakostraničan trokut je trokut kojemu su sve tri stranice jednake duljine.

[latex]P=\frac{a^2\sqrt[]{3}}{4}[/latex],  [latex]v=\frac{a\sqrt[]{3}}{2}[/latex]

Jednakokračan trokut je trokut kojemu su dvije stranice jednake duljine.

Pravokutan trokut je trokut koji ima pravi kut. U njemu vrijedi Pitagorin poučak

[latex]c^2=a^2+b^2[/latex] ([latex]a,b[/latex] su katete, [latex]c[/latex] je hipotenuza)

Površina trokuta

[latex]P=\frac{a\cdot v_a}{2}=\frac{b\cdot v_b}{2}=\frac{c\cdot v_c}{2}[/latex]

[latex]P=s\cdot r[/latex],[latex]s=\frac{a+b+c}{2},r[/latex] polumjer upisane kružnice.

[latex]P=\sqrt[]{s(s-a)(s-b)(s-c)},s=\frac{a+b+c}{2}[/latex]

[latex]P=\frac{abc}{4R},R[/latex] polumjer opisane kružnice.

Simetrale stranica trokuta sijeku se u točki koja je središte tom trokutu opisane kružnice.

Simetrale unutarnjih kutova trokuta sijeku se u jednoj točki koja je središte tom trokutu upisane kružnice.

Pravci na kojima leže visine trokuta sijeku se u jednoj točki koju nazivamo ortocentar.

Težišnice trokuta sijeku se u jednoj točki koju nazivamo težište trokuta. Težište dijeli težišnicu u omjeru [latex]2\colon1[/latex] računajući od vrha trokuta.

Primjer 1

Zadatak 1

Sličnost trokuta

Za dva trokuta [latex]\Delta{ABC}[/latex] i [latex]\Delta{A_1B_1C_1}[/latex] kažemo da su slični ako su im odgovarajući kutovi sukladni i odgovarajuće stranice proporcionalne.

Koeficijent proporcionalnosti [latex]\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}=\frac{c}{c_1}=k[/latex].

K-K poučak Trokuti su slični ako se podudaraju u dvama kutovima.

S-S-S poučak Trokuti su slični ako su duljine odgovarajućih stranica proporcionalne.

S-K-S poučak Trokuti su slični ako se podudaraju u jednom kutu i ako su duljine stranica koje zatvaraju taj kut proporcionalne.

Odnos površina i opsega sličnih trokuta: [latex]\frac{O}{O_1}=k,\frac{P}{P_1}=k^2[/latex]

Primjer 2

Jesu li trokuti sa slike [latex]\Delta{ABC}[/latex] i [latex]\Delta{ADE}[/latex] slični?

Rješenje

Zadani trokuti imaju zajednički kut [latex]\alpha[/latex].

Postavimo razmjer odgovarajućim stranicama: [latex]\frac{6}{12}=\frac{7}{14}=k=\frac{1}{2}[/latex].

Slijedi da su trokuti slični po SKS poučku.

 

Primjer 3

Stranice trokuta imaju duljinu [latex]6 \text{ cm}[/latex],[latex]11 \text{ cm}[/latex] i [latex]13 \text{ cm}[/latex]. Koliki su opseg i površina sličnog trokuta ako mu je najkraća stranica duljine [latex]2 \text{ cm}[/latex]?

Rješenje

Opseg trokuta sa duljima stranica [latex]6 \text{ cm}[/latex],[latex]11 \text{ cm}[/latex] i [latex]13 \text{ cm}[/latex] iznosi [latex]O=a+b+c=30 \text{ cm}[/latex].

[latex]\frac{O_1}{O}=k [/latex]

[latex] O_1=O \cdot k[/latex]

Uz pomoć najkraćih stranica odredimo [latex]k[/latex]:

[latex]k=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}[/latex]

[latex]O_1=\frac{1}{3}\cdot30=10 \text{ cm}[/latex]

 

Površinu trokuta sa duljima stranica [latex]6 \text{ cm}[/latex], [latex]11 \text{ cm}[/latex] i [latex]13 \text{ cm}[/latex] izračunamo pomoću Heronove formule.

[latex]P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},s=\frac{O}{2}[/latex]

[latex]s=15 \text{ cm}[/latex] pa je

[latex]P=\sqrt{15(15-6)(15-11)(15-13)}=6\sqrt{30} \text{ cm}^2[/latex] 

[latex]\frac{P_1}{P}=k^2 [/latex]

[latex]P_1=\frac{2\sqrt{30}}{3} \; \text{cm}^2[/latex]

Zadatak 2

Talesov poučak

Paralelni pravci na kracima kuta odsijecaju proporcionalne duljine.

Primjer 4

U trokutu [latex]ABC[/latex] povučena je paralela sa stranicom [latex]AB[/latex] tako da stranicu [latex]BC[/latex] siječe u točki [latex]D[/latex], a stranicu [latex]AC[/latex] u točki [latex]E[/latex]. Odredi [latex]|AC|[/latex] ako je [latex]|CD|\colon|DB|=2\colon3[/latex], [latex]|CE|=1.5 \text{ cm}[/latex].

Rješenje

Iz Talesovog poučka imamo:

[latex]2\colon3=1.5\colon|EA|[/latex]

[latex]2|EA|=3\cdot1.5[/latex]

[latex]|EA|=2.25\text{ cm}[/latex]

[latex]|AC|=2.25+1.5=3.75\text{ cm}[/latex]

Zadatak 3

Euklidov poučak

Euklidov poučak: [latex]a=\sqrt{pc},b=\sqrt{qc},v=\sqrt{pq}[/latex].

Primjer 5

Zadatak 4

Sukladnost i sličnost trokuta

Procijenite svoje znanje