Diskriminanta i Vieteove formule
Iz mementa
Diskriminanta kvadratne jednadžbe [latex]ax^2+bx+c=0[/latex] jest
[latex]D=b^2-4ac[/latex].
O njoj ovisi broj realnih rješenja kvadratne jednadžbe.
[latex]D>0\Longleftrightarrow[/latex] Dva (različita) realna rješenja.
[latex]D=0\Longleftrightarrow[/latex] Jedno (dvostruko) realno rješenje.
[latex]D<0\Longleftrightarrow[/latex] Nema realnih rješenja.
Prema kvadratnoj formuli rješenja kvadratne jednadžbe [latex]ax^2+bx+c=0[/latex] jesu
[latex]x_1=\frac{-b+\sqrt[]{D}}{2a}[/latex] i
[latex]x_2=\frac{-b-\sqrt[]{D}}{2a}[/latex],
gdje je [latex]D=b^2-4ac[/latex]
Primjer 1
a) Izračunajmo diskriminantu i odredimo broj i prirodu rješenja kvadratne jednadžbe [latex]2x^2+5x+3=0[/latex].
Rješenje
[latex]2x^2+5x+3=0[/latex]
[latex]D=5^2-4\cdot2\cdot3[/latex]
[latex]D=1[/latex]
[latex]D>0[/latex]
Dva realna rješenja.
b) Izračunajmo diskriminantu i odredimo broj i prirodu rješenja kvadratne jednadžbe [latex]2y^2+3y+2=0[/latex].
Rješenje
[latex]2y^2+3y+2=0[/latex]
[latex]D=3^2-4\cdot2\cdot2[/latex]
[latex]D=-7[/latex]
[latex]D<0[/latex]
Nema realnih rješenja.
c) Izračunajmo diskriminantu i odredimo broj i prirodu rješenja kvadratne jednadžbe [latex]4t^2+4t+1=0[/latex].
Rješenje
[latex]4t^2+4t+1=0[/latex]
[latex]D=4^2-4\cdot4\cdot1[/latex]
[latex]D=0[/latex]
Jedno realno rješenje.
Zadatak 1
Primjer 2
Odredimo vrijednosti parametra [latex]p[/latex] za koje će jednadžba [latex]x^2-4x+p=0[/latex] imati:
a) Dva realna različita rješenja.
Rješenje
[latex]D>0[/latex]
[latex]16-4p>0[/latex]
[latex]-4p>-16[/latex]
[latex]p<4[/latex]
Jednadžba ima dva realna različita rješenja ako je [latex]p<4[/latex].
b) Jedno (dvostruko) realno rješenje.
Rješenje
[latex]D=0[/latex]
[latex]16-4p=0[/latex]
[latex]-4p=-16[/latex]
[latex]p=4[/latex]
Jednadžba ima jedno (dvostruko) realno rješenje ako je [latex]p=4[/latex].
c) Neće imati realnih rješenja.
Rješenje
[latex]D<0[/latex]
[latex]16-4p<0[/latex]
[latex]-4p<-16[/latex]
[latex]p>4[/latex]
Jednadžba neće imati realnih rješenja ako je [latex]p>4[/latex].
Zadatak 2
Iz mementa
Za rješenja kvadratne jednadžbe [latex]ax^2+bx+c=0[/latex] vrijede Vieteove formule:
[latex]x_1+x_2=-\frac{b}{a}[/latex],
[latex]x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}[/latex].
Primjer 3
a) Pronađimo zbroj i umnožak rješenja jednadžbe [latex]x^2-5x+8=0[/latex].
Rješenje
[latex]x^2-5x+8=0[/latex]
[latex]x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{1}=5[/latex].
[latex]x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{8}{1}=8[/latex].
b) Pronađimo zbroj i umnožak rješenja jednadžbe [latex]8x^2-x-2=0[/latex].
Rješenje
[latex]8x^2-x-2=0[/latex]
[latex]x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-1}{8}=\frac{1}{8}[/latex].
[latex]x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2}{8}=-\frac{1}{4}[/latex].