Prostor i prizme

Iz mementa

Prizma je poliedar koji ima dvije paralelne i sukladne baze, a ostale su mu strane paralelogrami. Paralelne i sukladne strane nazivamo bazama (osnovkama) dok sve ostale strane zajedno čine pobočje prizme.

Visina prizme jednaka je udaljenosti gornje i donje baze prizme. Kod uspravne prizme pobočke su pravokutnici okomiti na ravninu baze.

Prizma je pravilna ako je uspravna i ako joj je baza pravilan mnogokut.

Volumen (obujam) prizme računamo po formuli: [latex]V=B\cdot h[/latex].

Oplošje prizme računamo po formuli: [latex]O=2B+P[/latex].

Kocka je uspravna četverostrana prizma kojoj su svi bridovi iste duljine. Volumen kocke: [latex]V=a^3[/latex]. Oplošje kocke: [latex]O=6a^2[/latex]. Prostorna dijagonala kocke: 

[latex]D=a\sqrt{3}[/latex].

Kvadar je uspravna četverostrana prizma kojoj je baza pravokutnik. Volumen: [latex]V=abc[/latex]. Oplošje: [latex]O=2(ab+ac+bc)[/latex]. Prostorna dijagonala kvadra: [latex]D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}[/latex].

Ako je baza paralelogram, prizmu nazivamo paralelepiped.

Primjer 1

Rješenje

a1) Pravci paralelni s pravcem [latex]CD[/latex] su pravci [latex]IJ,GL,AF,HK,BE[/latex].

a2) Tražene točke su [latex]G,H,I,J[/latex].

a3) Paralelna ravnina je [latex]AFLG[/latex].

 

b) Izračunajmo volumen i oplošje kocke kojoj je prostorna dijagonala duljine [latex]10\sqrt{3} \text{ cm}[/latex].

Rješenje.

[latex]D=a\sqrt{3}\text{ cm}[/latex] 

[latex]a=10 \text{ cm}[/latex] 

Sada imamo:

[latex]V=10^3=1000 \text{ cm}^3[/latex]

[latex]O=6\cdot10^2=600 \text{ cm}^2[/latex]

 

Zadatak 1

Primjer 2

Zadatak 2

Primjer 3

Baza uspravne prizme raznostraničan je torkut sa stranicama duljine [latex]10\;\text{cm}[/latex], [latex]17\;\text{cm}[/latex] i [latex]21\;\text{cm}[/latex]. Visina prizme iznosi [latex]\sqrt{6} \; \text{cm}[/latex]. Koliko je oplošje, a koliki volumen te prizme?

Rješenje

Primjenom Heronove formule odredimo površinu baze.

[latex]B=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, s= \frac{a+b+c}{2}[/latex]

[latex]B=\sqrt{24\cdot(24-12)\cdot(24-15)\cdot(24-21)}[/latex]

[latex]B=36\sqrt{6} \; \text{cm}^2[/latex] 

Izračunamo volumen trostrane prizme.

[latex]V=B\cdot h[/latex]

[latex]V=36\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}[/latex]

[latex]V=216 \; \text{cm}^3[/latex]

Za izračunavanje oplošja potrebno je odrediti površinu pobočja prizme.

[latex]P=ah+bh+ch[/latex]

[latex]P=(12+15+21)\sqrt{6}[/latex]

[latex]P=48\sqrt{6} \; \text{cm}^2[/latex]

Oplošje iznosi:

[latex]O=2B+P[/latex]

[latex]O=2\cdot36\sqrt{6}+48\sqrt{6}[/latex]

[latex]O=120\sqrt{6} \; \text{cm}^2[/latex]

Zadatak 3

Primjer 4

Koliko su oplošje i volumen pravilne uspravne šesterostrane prizme kojoj je duljina visine [latex]8 \; \text{cm}[/latex] i duljina osnovnog brida [latex]4 \; \text{cm}[/latex]?

Rješenje

[latex]B=\frac{3}{2}\cdot4^2\sqrt{3}[/latex]

     [latex]=24\sqrt{3} \; \text{cm}^2[/latex]

[latex]P=6\cdot a\cdot h[/latex]

      [latex]=192 \; \text{cm}^2[/latex]

Izračunamo volumen i oplošje prizme:

[latex]V=B\cdot h[/latex]

     [latex]=192\sqrt{3} \; \text{cm}^3[/latex]

[latex]O=2B+P[/latex]

     [latex]=2\cdot24\sqrt{3}+192[/latex]

     [latex]=275.14\text{cm}^2[/latex].

Zadatak 4

Prostor i prizme

Procijenite svoje znanje