Eksponencijalna funkcija, svojstva i graf

a) Zadana je funkcija [latex]f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^x[/latex]. Odredimo:

1) [latex]f(0)[/latex]        2) [latex]f(2)[/latex]           3) [latex]f(-4)[/latex]             4) [latex]f(0.4)[/latex]

Rješenje

1) [latex]f(0)=\left(\frac{1}{3}\right)^0=1[/latex]

2) [latex]f(2)=\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}[/latex]

3) [latex]f(-4)=\left(\frac{1}{3}\right)^{-4}[/latex]

[latex]=(3^{-1})^{-4}[/latex]

[latex]=3^4=81[/latex]

4) Izračunamo služeći se džepnim računalom.

   [latex]f(0.4)=\left(\frac{1}{3}\right)^{0.4}\approx0.64[/latex]

b) Prisjetimo se računanja s potencijama te pojednostavimo izraze:

1) [latex]3^x+3^x+3^x[/latex]

2) [latex]5^{x+2}+5^{x+1}+5^x[/latex]

Rješenje

1) [latex]3^x+3^x+3^x=3\cdot3^x=3^{x+1}[/latex]

2) [latex]5^{x+2}+5^{x+1}+5^x=5^x\cdot5^2+5^x\cdot5+5^x[/latex]

[latex]=5^x\cdot5^2+5^x\cdot5+5^x[/latex]

[latex]=5^x\cdot(5^2+5+1)[/latex]

[latex]=31\cdot5^x[/latex]

a) Zadana je funkcija [latex]f(x)=\left(\frac{3}{2}\right)^x[/latex].

Poredajmo sljedeće brojeve od najmanjeg do najvećeg:

[latex]f(2),f(-2),f(-0.4),f(4),f(25)[/latex].

Rješenje

Baza eksponencijalne funkcije [latex]f(x)=\left(\frac{3}{2}\right)^x[/latex] je [latex]\frac{3}{2}=1.5\gt1[/latex] i funkcija je rastuća. Dakle, za veći [latex]x[/latex] imamo veću vrijednost funkcije:

[latex]f(-2)\lt f(-0.4)\lt f(2)\lt f(4)\lt f(25)[/latex].

Rješenje

Iz grafa očitamo točku koja mu pripada, točku [latex](2,1)[/latex]. Dakle, 

[latex]f(2)=1\Rightarrow3^{2+c}=1[/latex]

                   [latex]3^{2+c}=3^0[/latex]   [latex]\Rightarrow2+c=0[/latex]    [latex]\Rightarrow c=-2.[/latex]

Rješenje

Točka [latex](-2,5)[/latex] pripada grafu zadane funkcije. Dakle, 

[latex]f(-2)=5\Rightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}+c=5[/latex]

                                     [latex]4+c=5\;\;\;\Rightarrow c=1[/latex]

a) Za funkciju [latex]f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^x-1[/latex] odredimo:

1) domenu

2) skup vrijednosti (sliku) funkcije

3) [latex]x[/latex] za koji je vrijednost funkcije 2.

Rješenje

1) Domena eksponencijalne funkcije je cijeli skup [latex]\text{\textbf{\textit{R}}}[/latex].

2) Graf funkcije [latex]f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^x-1[/latex] dobivamo pomakom za [latex]-1[/latex] prema dole, te je (slika)  skup vrijednosti funkcije [latex]\left<-1,\infty\right>[/latex].

3) [latex]f(x)=2\;\;\;\Rightarrow\left(\frac{1}{3}\right)^x-1=2[/latex]

   [latex]\Rightarrow\left(\frac{1}{3}\right)^x=3\;\;\;\Rightarrow x=-1[/latex]

Rješenje

Vidimo ga je graf funkcije pomaknut prema dole te je funkcija oblika [latex]f(x)=b^x+c[/latex].

Pravac [latex]y=-2[/latex] je horizontalna asimptota, dakle [latex]c=-2[/latex].

Tražena funkcijja je oblika [latex]f(x)=b^x-2[/latex]. Kako bi odredili bazu funkcije očitajmo neku točku grafa funkcije.

Vidimo da funkcija prolazi točkom [latex](2,2)[/latex] te je

[latex]b^2-2=2\Rightarrow b^2=4\Rightarrow b=2[/latex].

Dakle, na slici je graf funkcije [latex]f(x)=2^x-2[/latex].