Pojam vektora, vektori u koordinatnom sustavu

Iz mementa

Vektor prikazujemo kao usmjerenu dužinu. Dužina kojoj je početak u točki [latex]A[/latex], a kraj u točki [latex]B[/latex] označuje se s [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] ili [latex]\vec{a}[/latex].

Duljina usmjerene dužine predstavlja iznos (duljinu) prikazanog vektora, a njezin smjer jest smjer prikazanog vektora.
Vektori istog smjera mogu biti jednako ili suprotno orijentirani. 

Dva su vektora jednaka ako imaju jednake duljine, isti smjer i orijentaciju.

Vektori [latex]\vec{a}[/latex] i [latex]\vec{b}[/latex] su kolinearni ako su istog smjera. Tada vrijedi: [latex]\vec{a}=k\vec{b}[/latex], [latex]k\in\textbf{\textit{R}}[/latex].

Vektori [latex]\vec{a}[/latex] i [latex]\vec{b}[/latex] su suprotni ako su iste duljine i smjera, a suprotne orijentacije. Tada vrijedi: [latex]\vec{a}=-\vec{b}[/latex].

Vektore zbrajamo po pravilu trokuta ili po pravilu paralelograma.

Umnožak realnog broja [latex]k[/latex] i vektora [latex]\vec{a}[/latex] je vektor [latex]k\vec{a}[/latex] za koji vrijedi:

smjer mu je jednak smjeru vektora [latex]\vec{a}[/latex] 

duljina mu je umnožak apsolutne vrijednosti broja [latex]k[/latex] i duljine vektora [latex]\vec{a}[/latex]

za [latex]k>0[/latex] orijentacija mu je jednaka orijentaciji vektora  [latex]\vec{a}[/latex], a za [latex]k<0[/latex] orijentacija mu je suprotna.

Vektor [latex]\vec{c}[/latex] je linearna kombinacija nekolinearnih vektora [latex]\vec{a}[/latex] i [latex]\vec{b}[/latex] ako je [latex]\vec{c}=k\vec{a}+l\vec{b}[/latex] gdje su [latex]k[/latex], [latex]l[/latex] realni brojevi.

Primjer 1

Dan je paralelogram [latex]ABCD[/latex]. Neka je točka [latex]E[/latex] na stranici [latex]\overline{CD}[/latex] takva da vrijedi [latex]\lvert{CE}\rvert\colon\lvert{ED}\rvert=2\colon1[/latex].

Prikažimo vektore [latex]\overrightarrow{AE}[/latex], [latex]\overrightarrow{BE}[/latex], [latex]\overrightarrow{CE}[/latex] i [latex]\overrightarrow{DE}[/latex] kao linearnu kombinaciju vektora

[latex]\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}[/latex] i [latex]\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AD}[/latex].

Rješenje

[latex]\overrightarrow{DE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}[/latex]

[latex]\overrightarrow{CE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}[/latex]

[latex]\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{a}[/latex]

[latex]\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{b}-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}[/latex]

Zadatak 1

Iz mementa

Svaki je vektor u ravnini linearna kombinacija vektora [latex]\vec{i}[/latex] i [latex]\vec{j}[/latex].

[latex]\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A)\vec{i}+(y_B-y_A)\vec{j}[/latex]

Neka je [latex]\vec{a}=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}[/latex],

duljina vektora [latex]\vec{a}[/latex]:  [latex]\lvert{\vec{a}}\rvert=\sqrt[]{a^2_1+a^2_2}[/latex]

Primjer 2

Zadane su točke [latex]A(-2,3)[/latex], [latex]B(1,7)[/latex] i [latex]C(-1,2)[/latex]. Prikažimo vektor [latex]\overrightarrow{d}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}[/latex] kao linearnu kombinaciju jediničnih vektora [latex]\overrightarrow{i}[/latex] i [latex]\overrightarrow{j}[/latex]. Odredimo duljinu vektora [latex]\overrightarrow{d}[/latex].

Rješenje

[latex]\overrightarrow{AB}=(1+2)\overrightarrow{i}+(7-3)\overrightarrow{j}[/latex]

  [latex]=3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}[/latex]

[latex]\overrightarrow{AC}=(-1+2)\overrightarrow{i}+(2-3)\overrightarrow{j}[/latex]

  [latex]=\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}[/latex]

 

[latex]\overrightarrow{d}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}[/latex]

[latex]=3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+2(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j})[/latex]

[latex]=5\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}[/latex]

Odredimo duljinu vektora [latex]\overrightarrow{d}[/latex].

[latex]\lvert{\overrightarrow{d}}\rvert=\sqrt[]{5^2+2^2}=\sqrt[]{29}[/latex]

Zadatak 2

Iz mementa

Skalarni umnožak vektora [latex]\vec{a}[/latex] i [latex]\vec{b}[/latex]:  [latex]\vec{a}\cdot\vec{b}=[/latex][latex]\lvert{\vec{a}}\rvert\lvert{\vec{b}}\rvert\cos \alpha[/latex]

Skalarni umnožak vektora [latex]\vec{a}=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}[/latex], [latex]\vec{b}=b_1\vec{i}+b_2\vec{j}[/latex]:

[latex]\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2[/latex]

Primjer 3

a) Odredimo skalarni umnožak vektora [latex]\overrightarrow{a}[/latex] i [latex]\overrightarrow{b}[/latex].

[latex]\lvert{\overrightarrow{a}}\rvert=3[/latex]

[latex]\lvert{\overrightarrow{b}}\rvert=\frac{1}{2}[/latex]

[latex]\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=45\degree[/latex]

Rješenje

[latex]\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\lvert{\overrightarrow{a}}\rvert\lvert{\overrightarrow{b}}\rvert\cos \angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})[/latex]

[latex]=3\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt[]{2}}{2}[/latex]

[latex]=\frac{3\sqrt[]{2}}{4}[/latex]

b) Odredimo skalarni umnožak vektora [latex]\overrightarrow{a}[/latex] i [latex]\overrightarrow{b}[/latex].

[latex]\overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}[/latex]

[latex]\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}[/latex]

Rješenje

[latex]\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{ b}=a_1b_1+a_2b_2[/latex]

[latex]=1\cdot2+3\cdot(-1)[/latex]

[latex]=-1[/latex]

c) Odredimo realan broj [latex]k[/latex] tako da vektori:

[latex]\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+k\overrightarrow{j}[/latex] i

[latex]\overrightarrow{v}=3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}[/latex]

budu međusobno okomiti.

Rješenje

Ako su vektori međusobno okomiti kut koji zatvaraju je [latex]90\degree[/latex]. 

To znači da je njihov skalarni umnožak 

[latex]\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\lvert{\overrightarrow{u}}\rvert\lvert{\overrightarrow{v}}\rvert\cos \angle(\overrightarrow{u}\overrightarrow{v})=0[/latex].

Vektori su zadani kao linearne kombinacije vektora [latex]\overrightarrow{i}[/latex] i [latex]\overrightarrow{j}[/latex] pa možemo računati njihov skalarni umnožak:

[latex]\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=a_1b_1+a_2b_2=1\cdot3+k\cdot4[/latex].

Izjednačimo skalarni umnožak s [latex]0[/latex]:

[latex]3+4k=0\Rightarrow k=-\frac{3}{4}[/latex].

Zadatak 3

Pojam vektora, vektori u koordinatnom sustavu

Procijenite svoje znanje