Geometrijski niz

Iz mementa

Opći član geometrijskog niza:

[latex]a_n=a_1\cdot q^{n-1}[/latex]

Suma prvih [latex]n[/latex] članova geometrijskog niza:

[latex]S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}[/latex]

Svaki član, osim prvog, geometrijskog niza s pozitivnim članovima geometrijska je sredina člana prije i člana poslije njega.

[latex]a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}[/latex]

Primjer 1

Niz brojeva je geometrijski niz ako mu je kvocijent susjednih članova konstantan tj. sljedeći član dobijemo množenjem prethodnog člana konstantnim brojem. Taj broj obično označavamo [latex]q[/latex] i nazivamo kvocijent niza.

Jesu li sljedeći nizovi geometrijski? Ako jesu, odredimo kvocijent tog niza ([latex]q[/latex]).

Primjer 2

Opći član geometrijskog niza jest [latex]a_n=a_1\cdot q^{n-1}[/latex], ako je [latex]a_1[/latex] njegov prvi član, a [latex]q[/latex] njegov kvocijent.

Zadatak 1

Primjer 3

Suma (zbroj) prvih [latex]n[/latex] članova geometrijskoga niza računa se po formuli [latex]S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}[/latex], gdje je [latex]q\neq0[/latex].

Zadatak 2

Primjer 4

Ivan igra računalnu igricu koja ima [latex]8[/latex] razina. Na prvoj razini osvaja se [latex]128[/latex] bodova, a na
svakoj sljedećoj [latex]50 \;\%[/latex] više nego na prethodnoj.

a) Koliko se bodova može osvojiti na [latex]5[/latex]. razini?

b) Koliko se ukupno bodova može osvojiti ako se prođe svih [latex]8[/latex] razina?

c) Na kojoj je razini Ivan osvojio [latex]1458[/latex] bodova?

d) Koliko je razina prešao Ivan kada je imao ukupno osvojenih [latex]1040[/latex] bodova?

Rješenje

Označimo s [latex]a_n[/latex] broj bodova koje je moguće osvojiti na [latex]n[/latex]-toj razini.

Na prvoj razini osvaja se [latex]128[/latex] bodova pa je [latex]a_1=128[/latex].

Na svakoj sljedećoj razini osvaja se [latex]50\;\%[/latex] više bodova što znači da se radi o geometrijskome nizu s kvocijentom [latex]q=1.5[/latex].

Opći član ovog niza je [latex]a_n=128\cdot1.5^{n-1}[/latex].

a) Traži se [latex]5.[/latex] član niza: [latex]a_5 = 128 \cdot 1.5^4 = 648[/latex].

b) Trebamo odrediti sumu svih članova promatranog niza:

[latex]s_8=128\cdot\frac{1.5^8-1}{1.5-1}=6305[/latex].

 c) Iz podatka [latex]a_n=1458[/latex] treba odrediti [latex]n[/latex]:

[latex]128\cdot1.5^{n-1}=1458\Rightarrow n=7[/latex].

Ivan je osvojio [latex]1458[/latex] bodova na [latex]7[/latex]. razini.

d) Zadan je zbroj bodova osvojenih na [latex]n[/latex] razina, odnosno [latex]S_n=1040[/latex], iz čega ćemo
odrediti [latex]n[/latex]:

[latex]1040=128\cdot\frac{1.5^n-1}{1.5-1}\Rightarrow n=4[/latex].

Kada je Ivan imao ukupno [latex]1040[/latex] bodova, prešao je [latex]4[/latex] razine.

Zadatak 3

Geometrijski niz

Procijenite svoje znanje