Vjerojatnost

Iz mementa

Vjerojatnost apriori (teorijska)

Vjerojatnost događaja [latex]A[/latex] jednaka je omjeru broja povoljnih ishoda za [latex]A[/latex] i broja svih mogućih ishoda.

[latex]p(A)=\frac{k(A)}{k(\Omega)}[/latex]

Svojstva:

[latex]0\le p(A)\le1,\enspace p(\varnothing)=0,\enspace p(\Omega)=1[/latex]

[latex]p(\overline{A})=1-p(A)[/latex] (vjerojatnost suprotnog događaja)

Primjer 1

a) Izračunajmo vjerojatnost da prilikom bacanja igraće kockice padne broj [latex]4[/latex].

b) Izračunajmo vjerojatnost pogotka odgovora na jednom pitanju višestrukog izbora na državnoj maturi.

c) Izračunajmo vjerojatnost da u dva bacanja igraće kockice dobijemo zbroj [latex]4[/latex].

d) Izračunajmo vjerojatnost pogotka PIN-a bankovne kartice koji ima četiri znamenke.

Rješenje

a) Broj mogućih ishoda prilikom bacanja kockice je [latex]6[/latex]. Nama odgovara samo jedan (Pala je šestica). Stoga je tražena vjerojatnost [latex]p=\frac{1}{6}\approx0.167=16.7 \%[/latex]

b) U zadatcima višestrukog izbora ponuđena su četiri odgovora od kojih je samo jedan točan pa je tražena vjerojatnost [latex]p=\frac{1}{4}=0.25=25 \%[/latex]

c) U dva bacanja kockice ukupan broj mogućih ishoda je [latex]36[/latex]. 

[latex](1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)[/latex]

[latex](2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)[/latex]

...

Za zbroj brojeva [latex]4[/latex], povoljni ishodi na kockici su [latex](1,3),(2,2),(3,1)[/latex]. 

Tražena vjerojatnost iznosi [latex]p=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}[/latex].

 

d) PIN ima četiri znamenke pa je ukupan broj ishoda [latex]1000[/latex]. Povoljan je samo jedan.

Vjerojatnost je [latex]p=\frac{1}{1000}=0.001=0.1\%[/latex]

Zadatak 1

Iz mementa

Ako ishod jednog događaja ne utječe na ishod drugog događaja onda za takve događaje kažemo da su nezavisni događaji.

Za dva događaja A i B kažemo da su nezavisni ako vrijedi:

[latex]p(A\cap B)=p(A)p(B)[/latex].

Primjer 2

Rješenje

a) Skup svih elementarnih događaja je:

[latex]\Omega=\{ {C,\;Ž,\;P} \}[/latex]

[latex]A=\{ {Ž,\;P} \}[/latex]

[latex]B=\Omega\setminus P=\{ {Ž,\;C} \}[/latex].

Vjerojatnosti elementarnih događaja su:

[latex]p(C)=\frac{1}{3}[/latex]

[latex]p(Ž)=\frac{1}{2}[/latex]

[latex]p(P)=\frac{1}{6}[/latex].

 b) [latex]p(A)=p(\{ {Ž,P}\} )[/latex]

  [latex]=p(Ž)+p(P)[/latex]

  [latex]=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}[/latex]

  [latex]=\frac{2}{3}[/latex]

  [latex]p(B)=p(\{ {Ž,C}\} )[/latex]

[latex]=p(Ž)+p(C)[/latex]

[latex]=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}[/latex]

[latex]=\frac{5}{6}[/latex]

Ovakav se način prikazivanja podataka zove
vjerojatnosno stablo.

Protumačimo prikazane podatke.

Prvo grananje pokazuje nam da je u Hrvatskoj [latex]85\;\%[/latex] stanovništva Rh pozitivno, a [latex]15\;\%[/latex]  Rh negativno, odnosno vjerojatnost da je osoba Rh pozitivna iznosi [latex]0.85[/latex], a da je Rh negativna [latex]0.15[/latex]. Drugo grananje nastavlja se na svaku od prethodnih grana, a pokazuje vjerojatnost da neka osoba ima krvnu grupu 0, A, B ili AB. Koristimo li se podatcima s jedne grane iz prvog i jedne grane iz drugog grananja koja je s njom povezana, možemo izračunati vjerojatnosti svih kombinacija krvne grupe i Rh faktora. Primjerice, budući da [latex]34\;\%[/latex] osoba ima krvnu grupu 0, računamo da će [latex]34\;\%[/latex] od [latex]85\;\%[/latex] Rh pozitivnih osoba imati krvnu grupu 0 +, pa je

[latex]p(0 \ +)=0.34\cdot0.85=0.289[/latex]

Analogno se računa i za ostale kombinacije.

Zadatak 2

Slučajni događaji, vjerojatnost slučajnog događaja

Procijenite svoje znanje