Trigonometrijski omjeri

Iz mementa

Promotrimo pravokutni trokut s katetama [latex]a[/latex] i [latex]b[/latex] i hipotenuzom [latex]c[/latex].

Njegovi šiljasti kutovi označeni su s [latex]\alpha[/latex] i [latex]\beta[/latex]. 

Nasuprot kutu [latex]\alpha[/latex] nalazi se kateta [latex]a[/latex]. Nju zovemo nasuprotnom katetom kuta [latex]\alpha[/latex].
Uz kut [latex]\alpha[/latex] nalazi se kateta [latex]b[/latex]. Nju zovemo priležećom katetom kuta [latex]\alpha[/latex].

Omjeri duljina stranica u pravokutnom trokutu ovise samo o kutu pa definiramo trigonometrijske omjere:

Sinus kuta je omjer duljina nasuprotne katete i hipotenuze.

[latex]\sin\alpha=\frac{a}{c}[/latex]

 

Kosinus kuta je omjer duljina priležeće katete i hipotenuze. 

[latex]\cos\alpha=\frac{b}{c}[/latex]

 

Tangens kuta je omjer duljina nasuprotne i priležeće katete.

[latex]\tg\alpha=\frac{a}{b}[/latex]

 

Primjer 1

Rješenje

sin [latex]\beta=\frac{24}{30}=0.8[/latex]

cos [latex]\beta=\frac{18}{30}=0.6[/latex]

tg [latex]\beta=\frac{24}{18}=\frac{4}{3}[/latex]

Zadatak 1

Primjer 2

Rješenje

Zadane su duljine kateta pa možemo izračunati kut.

[latex]\tg\alpha=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}[/latex]

[latex]\alpha=33\degree41^{\prime}24^{\prime\prime}[/latex]

[latex]\beta=90\degree-\alpha=56\degree18^{\prime}36^{\prime\prime}[/latex]

[latex]c=\sqrt[]{a^2+b^2}=\sqrt[]{52}\;\text{cm}[/latex].

Zadatak 2

Odredite preostale elemente pravokutnog trokuta.
(Uputa: Duljine stranica zaokružite na jednu decimalu, a rezultate upišite na odgovarajuća mjesta u tablici.)

Primjer 3

Odredimo kutove jednakokračnog trokuta kojemu je osnovica 8 cm, a krak 12 cm.

Rješenje a) Nacrtajmo zadani trokut i podijelimo ga na dva pravokutna trokuta spustivši visinu na osnovicu.

Sa slike imamo: [latex]\cos \beta=\frac{4}{12}\Longrightarrow\beta=\text{70°31'44''}[/latex].

Iz činjenice da je u jednakokračnom trokutu [latex]\alpha+2\beta=180\degree[/latex] slijedi 

[latex]\alpha=\text {38°56'32''}[/latex]

Rješenje

Iz slike vidimo da je [latex]v=r=8\;\text{cm}[/latex], a budući da se radi o deveterokutu, znamo da je:

[latex]\alpha=\frac{360\degree}{9}[/latex]

[latex]\alpha=40\degree[/latex].

Na slici smo izdvojili pravokutni trokut. Da bismo izračunali površinu, treba nam još stranica [latex]a[/latex].

[latex]\tg20\degree=\frac{\frac{a}{2}}{8}[/latex]

[latex]\tg20\degree=\frac{a}{16}[/latex] 

[latex]a=16\cdot\tg20\degree[/latex]

[latex]a=5.8235\;\text{cm}[/latex].

Dakle, površina je 

[latex]P=9\cdot\frac{5.8235\cdot8}{2}[/latex]

[latex]P=209.65\;\text{cm}^2[/latex].

Zadatak 3

Trigonometrijski omjeri

Procijenite svoje znanje