Poučak o sinusima, primjena u planimetriji

Odredimo nepoznate duljine stranica, kut i polumjer trokutu [latex]ABC[/latex] opisane kružnice ako je zadano:  [latex]c=14[/latex] cm, [latex]\alpha=62\degree[/latex] i [latex]\beta=74\degree[/latex].

Rješenje

Odredimo treći kut trokuta: [latex]\gamma=180\degree-(\alpha+\beta)=44\degree[/latex].

Polumjer opisane kružnice dobijemo iz: 

[latex]2R=\frac{c}{\sin \gamma}[/latex]

[latex]R=\frac{c}{2\sin \gamma}[/latex]

[latex]R=10.1\;\text{cm}[/latex].

Iz poučka o sinusima imamo: 

[latex]\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin\gamma}[/latex]       [latex]\Rightarrow a=\frac{c\sin \alpha}{\sin \gamma}=17.8\;\text{cm}[/latex] i 

[latex]\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}[/latex]        [latex]\Rightarrow b=\frac{c\sin \beta}{\sin \gamma}=19.4\;\text{cm}[/latex].

Odredimo nepoznate elemente trokuta ako je poznato: [latex]\gamma=40\degree[/latex], [latex]c=20\;\text{m}[/latex] i [latex]a=15\;\text{m}[/latex].

Rješenje

Zadane su duljine dviju stranica trokuta i kut nasuprot većoj od njih. Prema poučku o sukladnosti trokuta, rješenje je jedinstveno. Odredimo nepoznate kutove:

[latex]\frac{c}{\sin\gamma}=\frac{a}{\sin\alpha}[/latex]       [latex]\Rightarrow\sin \alpha=\frac{a\sin \gamma}{c}[/latex]

 [latex]\Rightarrow\sin \alpha=0.48209.[/latex]

Dvije su mogućnosti za kut [latex]\alpha[/latex]:

[latex]\alpha_1=\sin ^{-1}0.48209=28\degree49^{\prime}19^{\prime\prime}[/latex] ili 

[latex]\alpha_2=180\degree-\alpha_1=151\degree10^{\prime}41^{\prime\prime}[/latex].

Stranica [latex]a[/latex] je kraća od stranice [latex]c[/latex] pa je kut [latex]\alpha[/latex] manji od kuta [latex]\gamma[/latex]. Zato je rješenje samo kut [latex]\alpha_1=28\degree49^{\prime}19^{\prime\prime}[/latex].

Zbroj kuteva u trokutu je [latex]180\degree[/latex] pa je: 

[latex]\beta=180\degree-\alpha-\gamma[/latex]

[latex]\beta=111\degree10^{\prime}41^{\prime\prime}[/latex].

Odredimo preostalu stranicu:

[latex]\frac{c}{\sin\gamma}=\frac{b}{\sin\beta}[/latex]     [latex]\Rightarrow b=\frac{c\sin \beta}{\sin \gamma}[/latex]

[latex]\Rightarrow b=29\;\text{m}[/latex].

Rješenje

U trokutu [latex]ABP[/latex] poznato je:

[latex]\angle A=27\degree[/latex]

[latex]\angle B=180\degree-31.5\degree=148.5[/latex]   [latex]\Rightarrow\angle P=31.5\degree-27\degree[/latex]

[latex]\Rightarrow\angle P=4.5\degree[/latex]

Iz poučka o sinusima slijedi:

[latex]\frac{600}{\sin4.5\degree}=\frac{\lvert{PB}\rvert}{\sin27\degree}[/latex]         [latex]\Rightarrow\lvert{PB}\rvert=\frac{600\sin 27\degree}{\sin 4.5\degree}[/latex]

[latex]\Rightarrow\lvert{PB}\rvert=3471.8\;\text{m}[/latex].

Trokut [latex]BPC[/latex] je pravokutan pa vrijedi:

[latex]\cos 31.5\degree=\frac{x}{\lvert{PB}\rvert}[/latex]    [latex]\Rightarrow x=\lvert{PB}\rvert\cdot\cos 31.5\degree[/latex]

[latex]\Rightarrow x=2960.2\;\text{m}[/latex]

[latex]\sin 31.5\degree=\frac{y}{\lvert{PB}\rvert}[/latex]     [latex]\Rightarrow y=\lvert{PB}\rvert\cdot\sin 31.5\degree[/latex]

 [latex]\Rightarrow y=1814\;\text{m}[/latex].