Poučak o kosinusu, primjena u planimetriji

Rješenje

Zadane su duljine dviju stranica i kut između njih pa možemo izračunati duljinu treće stranice.

[latex]a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha[/latex]

[latex]a^2=4.6^2+12.9^2-2\cdot4.6\cdot12.9\cos 56.6\degree[/latex]

[latex]a^2=122.24[/latex]

[latex]a=11.1\;\text{cm}[/latex] 

Preostaje izračunati kutove [latex]\beta[/latex] i [latex]\gamma[/latex].

Možemo primijeniti poučak o sinusima ili poučak o kosinusu. Ako primjenjujemo poučak o sinusima, treba odrediti jesu li traženi kutovi šiljasti ili tupi. To ne možemo reći za najveći kut u trokutu jer on bi mogao biti jedno i drugo. U našem je slučaju najdulja stranica [latex]c[/latex] pa je najveći kut [latex]\gamma[/latex]. Zato kut [latex]\gamma[/latex] ne računamo poučkom o sinusima.

Kut [latex]\beta[/latex] je sigurno šiljasti kut jer nije najveći u trokutu. Odredimo ga poučkom o sinusima.

[latex]\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}[/latex]            [latex]\Rightarrow\frac{11.1}{\sin 56.6\degree}=\frac{4.6}{\sin \beta}[/latex]

[latex]\Rightarrow\sin \beta=0.34734[/latex]

[latex]\Rightarrow\beta=20.3\degree[/latex]

Zbroj kuteva u trokutu je [latex]180\degree[/latex] pa je [latex]\gamma=180\degree-\alpha-\beta=103.1\degree[/latex]

     [latex]\gamma=103.1\degree[/latex]

Kuteve smo mogli izračunati i koristeći poučak o kosinusu. Kosinus šiljastog kuta je pozitivan, a kosinus tupog kuta negativan. Zbog toga ćemo primjenjujući poučak o kosinusu uvijek dobiti ispravnu vrijednost kuta bez obzira na to je li on šiljasti ili tupi.

Provjerimo.

Odredimo kut [latex]\gamma[/latex]. Stranica nasuprot kutu [latex]\gamma[/latex] je c pa je:

[latex]c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma[/latex]     [latex]\Rightarrow\cos \gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}[/latex]

[latex]\Rightarrow\cos \gamma=-0.22622[/latex]

[latex]\Rightarrow\gamma=103.1\degree[/latex]

Odredimo kutove trokuta ako je omjer njegovih stranica [latex]a\colon b\colon c=5\colon6\colon8[/latex].

Rješenje

Kako je [latex]a\colon b\colon c=5\colon6\colon8[/latex] vrijedi [latex]a=5k[/latex]

 [latex]b=6k[/latex]

 [latex]c=8k[/latex].

Najveći kut u trokutu je [latex]\gamma[/latex] jer je nasuprot najdulje stranice. Odredimo kut [latex]\gamma[/latex].

[latex]\cos \gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}[/latex]

[latex]\cos \gamma=\frac{(5k)^2+(6k)^2-(8k)^2}{2\cdot5k\cdot6k}[/latex]

[latex]\cos \gamma=-\frac{1}{20}[/latex]

[latex]\Rightarrow\gamma=92\degree52^{\prime}[/latex]

Kut [latex]\alpha[/latex] možemo odrediti na isti način ili uz pomoć poučka o sinusima (jer je kut [latex]\alpha[/latex] sigurno šiljasti).

[latex]\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin\gamma}[/latex]    [latex]\Rightarrow\sin \alpha=\frac{a\sin \gamma}{c}[/latex]

[latex]\Rightarrow\alpha=38\degree37^{\prime}[/latex]

Zbroj kutova u trokutu je [latex]180\degree[/latex] pa je  [latex]\beta=180\degree-\alpha-\gamma[/latex]

     [latex]\beta=48\degree31^{\prime}[/latex].

Odredimo duljine stranica i kutove paralelograma [latex]ABCD[/latex] ako su zadane duljine dijagonala [latex]e=21\;\text{cm}[/latex], [latex]f=36\;\text{cm}[/latex] i kut među njima [latex]\varphi=132\degree40^{\prime}[/latex].

[latex]a^2=(\frac{f}{2})^2+(\frac{e}{2})^2-2\cdot\frac{f}{2}\cdot\frac{e}{2}\cdot\cos \varphi[/latex]

[latex]a^2=690.43[/latex]

[latex]a=26.3\;\text{cm}[/latex] 

Stranicu [latex]b[/latex] možemo izračunati iz trokuta [latex]BSC[/latex] u kojemu su također poznate duljine dviju stranica, a kut među njima je [latex]180\degree-\varphi=47\degree20^{\prime}[/latex].

[latex]b^2=(\frac{f}{2})^2+(\frac{e}{2})^2-2\cdot\frac{f}{2}\cdot\frac{e}{2}\cdot\cos 47\degree20^{\prime}[/latex]

[latex]b^2=178.07[/latex]

[latex]b=13.3\;\text{cm}[/latex] 

Kut [latex]\angle A[/latex] paralelograma možemo izračunati iz trokuta [latex]ABD[/latex] u kojemu su poznate duljine stranica.

[latex]\cos \alpha=\frac{a^2+b^2-e^2}{2ab}[/latex]

[latex]\cos \alpha=0.60961[/latex]

[latex]\alpha=52\degree26^{\prime}[/latex]