Elementarne funkcije, domena i slika
Iz mementa
Ako je svakom elementu skupa [latex]D[/latex] pridružen točno jedan element skupa [latex]K[/latex] onda se takvo pridruživanje zove funkcija sa skupa [latex]D[/latex] u skup [latex]K[/latex]. Pišemo:
[latex]f\colon D\rightarrow K[/latex]
Skup [latex]D[/latex] zove se domena ili područje definicije funkcije [latex]f[/latex], a skup [latex]K[/latex] kodomena ili područje vrijednosti funkcije [latex]f[/latex].
Skup svih elemenata kodomene koji su slika barem jednoga elementa domene naziva se slika funkcije i označava s [latex]Im_f[/latex].
Elementarne funkcije:
linearna funkcija [latex]f\colon\text{\textbf{\textit{R}}}\rightarrow\text{\textbf{\textit{R}}}[/latex], [latex]f(x)=ax+b[/latex]
apsolutna vrijednost [latex]f\colon\text{\textbf{\textit{R}}}\rightarrow\text{\textbf{\textit{R}}}^+_{\text{\textbf{\textit{0}}}}, f(x)=\lvert{x}\rvert[/latex]
kvadratna funkcija [latex]f\colon\text{\textbf{\textit{R}}}\rightarrow\text{\textbf{\textit{R}}}^+_{\text{\textbf{\textit{0}}}}[/latex], [latex]f(x)=x^2[/latex]
funkcija drugog korijena [latex]f\colon\text{\textbf{\textit{R}}}^+_{\text{\textbf{\textit{0}}}}\rightarrow\text{\textbf{\textit{R}}}^+_{\text{\textbf{\textit{0}}}}[/latex], [latex]f(x)=\sqrt{x}[/latex]
racionalna funkcija [latex]f\colon\text{\textbf{\textit{R}}}\backslash\{0\}\rightarrow\text{\textbf{\textit{R}}}\backslash\{0\}[/latex], [latex]f(x)=\frac{1}{x}[/latex]
eksponencijalna funkcija [latex]f\colon\text{\textbf{\textit{R}}}\rightarrow\text{\textbf{\textit{R}}}^+[/latex], [latex]f(x)=b^x,b>0,b\neq1[/latex]
logaritamska funkcija [latex]f\colon R^{\text{\textbf{\textit{+}}}}\rightarrow\text{\textbf{\textit{R}}}[/latex], [latex]f(x)=\log _b(x)[/latex]
Primjer 1
a) Odredimo domenu funkcije [latex]f(x)=\frac{3x}{x^2-x-2}[/latex].
Rješenje
Racionalna funkcija nije definirana za brojeve za koje je nazivnik nula, dakle treba biti [latex]x^2-x-2\neq0[/latex].
Riješimo jednadžbu [latex]x^2-x-2=0[/latex].
Rješenja su jednadžbe [latex]x_1=2,\enspace x_2=-1[/latex] pa je domena [latex]D_f=\text{\textbf{\textit{R}}}\setminus\{{-1,2}\}[/latex].
b) Odredimo domenu funkcije [latex]f(x)=\sqrt[]{5-2x}[/latex].
Rješenje
Funkcija drugog korijena definirana je za sve nenegativne realne brojeve pa za zadanu funkciju vrijedi:
[latex]5-2x\ge0,\enspace x\le\frac{5}{2}[/latex] pa je domena
[latex]D_f=\left\langle-\infty,\frac{5}{2}\right\rbrack[/latex]
c) Odredimo domenu funkcije [latex]f(x)=\log (5-2x)[/latex]
Rješenje
Logaritamska funkcija definirana je za sve pozitivne realne brojeve pa za zadanu funkciju vrijedi:
[latex]5-2x\gt0[/latex]
[latex]-2x\gt-5\Longrightarrow x\lt\frac{5}{2}[/latex] pa je domena
[latex]D_f=\left\langle-\infty,\frac{5}{2}\right\rangle[/latex]