Kvadratne nejednadžbe. Presjek pravca i parabole

Riješimo kvadratnu nejednadžbu [latex]2x^2+5x-12\lt0[/latex].

Rješenje.

Za skiciranje parabole, odredimo najprije nultočke.

[latex]2x^2+5x-12=0[/latex]

Uvrštavanjem koeficijenata u formulu za rješavanje kvadratnih jednadžbi dobivamo: [latex]x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt[]{5^2-4\cdot2\cdot(-12)}}{2\cdot2}=\frac{-5\pm\sqrt[]{121}}{4}[/latex]

Iz čega slijedi: [latex]x_1=-4[/latex], [latex]x_2=\frac{3}{2}[/latex].

Vodeći koeficijent je pozitivan što znači da je parabola otvorom okrenuta prema gore.

Skiciramo brojevni pravac s istaknutim nultočkama i parabolom.

Sada možemo i racionalne nejednadžbe rješavati svođenjem na kvadratne.

Riješimo nejednadžbu [latex]\frac{x-3}{x-4}\lt0[/latex]

Rješenje.

Nejednadžbu [latex]\frac{x-3}{x-4}\lt0[/latex] ne smijemo množiti s nazivnikom [latex]x-4[/latex], ali smijemo množiti s nazivnikom na kvadrat budući da je taj izraz uvijek pozitivan.

[latex]\frac{x-3}{x-4}\lt0[/latex]      /      [latex]\cdot(x-4)^2[/latex]       

Dobivamo kvadratnu nejednadžbu [latex](x-3)(x-4)\lt0[/latex]  kojoj su nultočke [latex]x_1=3[/latex], [latex]x_2=4[/latex]. 

a) Nađimo presjek parabole i pravca.

[latex]y=x^2-2x-3[/latex]

[latex]y=x+1[/latex]

Rješenje

Riješimo sustav:

[latex]y=x^2-2x-3[/latex]

[latex]\underline{y=x+1    }[/latex]

Uvrstimo [latex]y[/latex] iz druge jednadžbe u prvu.

[latex]x+1=x^2-2x-3[/latex]

[latex]x^2-3x-4=0[/latex].

Rješenja kvadratne jednadžbe su [latex]x_1=-1[/latex], [latex]x_2=4[/latex].

Slijedi: [latex]y_1=0[/latex], [latex]y_2=5[/latex].

Dakle, točke presjeka su [latex](-1,0)[/latex] i [latex](4,5)[/latex].

b) Nađimo presjek parabole i pravca.

[latex]y=4x^2-2x+2[/latex]

[latex]y=2x+1[/latex]

Rješenje

Riješimo sustav:

[latex]y=4x^2-2x+2[/latex]

[latex]\underline{y=2x+1    }[/latex]

[latex]2x+1=4x^2-2x+2[/latex]

[latex]4x^2-4x+1=0[/latex]

Rješenje kvadratne jednadžbe je [latex]x_{1,2}=\frac{1}{2}[/latex].

Odgovarajući je [latex]y=2[/latex].

Dakle, traženi je presjek točka [latex]\left(\frac{1}{2},2\right)[/latex].

c) Nađimo presjek parabole i pravca.

[latex]y=x^2-x+2[/latex]

[latex]y=2x-3[/latex]

Rješenje

Riješimo sustav:

[latex]y=x^2-x+2[/latex]

[latex]\underline{y=2x-3    }[/latex]

[latex]2x-3=x^2-x+2[/latex]

[latex]x^2-3x+5=0[/latex]

Rješenje kvadratne jednadžbe je [latex]x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{-11}}{2}[/latex].

Kvadratna jednadžba nema realnih rješenja, dakle parabola i pravac nemaju zajedničkih točaka.