Zbroj veličina kutova u trokutu
Uvod
Promotri sljedeće fotografije i odredi veličinu kuta koji zatvaraju zidovi kuća. Okreni kartice da provjeriš svoj odgovor.
Zidovi kuća zatvaraju pravi kut, tj. kut od 90°.
Zidovi kuća zatvaraju izbočeni kut, tj. kut od 270°.
„Ponavljanje je majka mudrosti” poznata je latinska izreka. Vodeći se ovom mišlju, ponovi i prisjeti se matematičkih znanja o kutovima koje si dosad naučio.
Ponovi
Kutovi uz presječnicu
Pravac koji presijeca dva usporedna pravca nazivamo presječnica ili transverzala.
Pokušaj opisati sljedeće slike. Okreni kartice želiš li provjeriti svoje znanje ili se prisjetiti pojma presječnice i odnosa kutova uz presječnicu.
Ako su kutovi uz presječnicu iste vrste (oba tupa ili oba šiljasta), tada su oni jednake veličine.
α = β
Ako su kutovi uz presječnicu različite vrste (jedan tupi, jedan šiljasti), tada su oni suplementarni.
α + β = 180º
U ovoj nastavnoj jedinici naučit ćeš da zbroj veličina unutarnjih kutova u trokutu uvijek iznosi 180º.
α + β + γ = 180º
Istraži
Uz pomoć sljedeće animacije pokušaj samostalno istražiti i uočiti koliki je zbroj mjera unutarnjih kutova u trokutu.
Nauči
Slika s desne strane prikazuje zaključak s interaktivnog materijala: zbroj veličina unutarnjih kutova u trokutu uvijek iznosi 180º. Vrijede formule:
α + β + γ = 180º
α = 180º - (β + γ)
β = 180º - (α + γ)
γ = 180º - (α + β)
Zadatak 1.
Rješenje:
γ = 180º - (α + β)
γ = 180º - (82º + 63º)
γ = 180º - 145º
γ = 35º
Rješenje:
γ = 180º - (α + β)
β = 180º - (42º 15'' + 68º 57'')
β = 180º - 110º 72''
γ = 180º - 110º 1′ 12''
γ = 179º 59′ 60'' -110º 1′ 12''
γ = 69º 58′ 48''
Rješenje:
α = 180º - (β + γ)
α= 180º - (80.5º + 54.5º)
α = 180º - 135º
α = 45º
Zadatak 2.
Zbroj veličina šiljastih kutova u pravokutnome trokutu
Pokušaj zaključiti koliko iznosi zbroj veličina šiljastih kutova u pravokutnome trokutu, a zatim rješenje provjeri s druge strane kartice.
α + β + γ = 180º
α + β + 90° = 180º
α + β = 180º - 90°
α + β = 90º
Zbroj veličina dvaju šiljastih kutova u pravokutnome trokutu uvijek iznosi 90º.
α + β = 90º
Zadatak 3.
Zadatak 4.
Zadatak 5.
Zadatak 6.
Za znatiželjne
Jedan je egipatski faraon postavio Euklidu sljedeće pitanje: „Može li se na neki jednostavan način naučiti geometrija, bez proučavanja vaših Elemenata?” Euklid je na to kratko odgovorio: „Vaše visočanstvo, nema kraljevskih putova u geometriji.”
Znate li da je Euklid (oko 330. pr. Kr. – oko 275. pr. Kr.) jedan od najistaknutijih znanstvenika antičke Grčke, uz Aristotela, Platona, Arhimeda, Pitagoru itd.
Grčki matematičar Euklid odredio je razvoj matematike kakvu danas učimo i poznajemo.
Euklida zovu Ocem geometrije, a najpoznatije njegovo djelo je knjiga Elementi, najprevođenija knjiga poslije Biblije te savršeno matematičko djelo grčkog, ali i suvremenog doba.
Elementi se sastoje od 13 knjiga u kojima se Euklid bavi planimetrijom, stereometrijom, iracionalnim brojevima itd.
Kao primjer navodimo nekoliko definicija iz Elemenata:
Točka je ono što nema dijelova.
Crta je duljina bez širine.
Krajevi crte su točke.
Tupi kut je onaj koji je veći od pravog.
Od trostraničnih likova jednakostraničan trokut jest onaj koji ima tri iste stranice, jednakokračan onaj koji ima samo dvije jednake stranice, a raznostraničan onaj koji ima tri nejednake stranice.
Osim aksioma, definicija i postulata, Euklid u knjizi Elementi iznosi i propozicije. Jedna od njih je:
U svakom je trokutu zbroj bilo koja dva kuta manji od dva prava kuta.
Podsjeća li vas to na sadržaj koji smo proučavali i istraživali u ovoj nastavnoj jedinici?
Iako su proučavanjem njegova djela pronađene pogreške i nelogičnosti, to nikako ne umanjuje njegovu veličinu. Naprotiv, Euklid ostaje besmrtni začetnik današnje matematike i geometrije, kao i autor najvećega matematičkog udžbenika svih vremena.