Vanjski kutovi trokuta
Uvod
Krovnu konstrukciju možemo nacrtati kao dva pravokutnika u kosoj projekciji sa zajedničkom stranicom. Stranice tih dvaju pravokutnika obojene crvenom bojom zatvaraju izvana i iznutra krovne konstrukcije kutove različitih vrsta. Možeš li odrediti vrste tih kutova?
U prijašnjoj nastavnoj jedinici imenovali smo unutarnje kutove trokuta grčkim slovima α, β i γ. Međutim, unutarnji kutovi trokuta mogu se označavati i na druge načine:
Nauči
Vanjske kutove trokuta označavat ćemo s α', β' i γ' (čitamo alfa crtica, beta crtica i gama crtica ili alfa crtano itd.).
Kut α' vanjski je kut kuta α.
Kutovi α i α' su sukuti, imaju zajednički krak, a preostala dva kraka čine pravac.
Vrijedi: α + α' = 180°.
Primijeti da vanjski kut ne podrazumijeva preostali dio punog kuta kao kod krovne konstrukcije, nego je vanjski kut sukut pripadajućeg unutarnjeg kuta.
Za vanjske kutove trokuta vrijedi:
α + α' = 180°
β + β' = 180°
γ + γ' = 180°
Zadatak 1.
Izračunaj nepoznate veličine kutova. Okreni karticu i provjeri rješenje.
Izračunajmo najprije veličinu unutarnjeg kuta γ:
γ = 180° - (52° + 72° 15') = 180° - 124° 15' = 179° 60' - 124° 15' = 55° 45'
A zatim veličine preostalih vanjskih kutova:
γ' = 180° - 55° 45' = 124° 15'
α' = 180° - 52° = 128°
β' = 180° - 72° 15' = 107° 45'
Zadatak 2.
Zadatak 3.
Zbroj veličina vanjskih kutova u trokutu
Zanima nas koliko je α' + β' + γ'.
Krenimo od poznate jednakosti
α + β + γ = 180°
Ako umjesto α' pišemo α' = 180° - α,
umjesto β' pišemo β' = 180° - β
te umjesto γ' pišemo γ' = 180° - γ, dobivamo
α' + β' + γ' =
= 180° - α + 180° - β + 180° - γ =
= 540° - α - β - γ =
= 540° - (α + β + γ) =
= 540° - 180°= 360°
U svakom trokutu zbroj veličina vanjskih kutova iznosi 360°.
α' + β' + γ' = 360°
Zadatak 4.
Odredi nepoznate veličine kutova sa slike?
Nepoznate mjere kutova možemo računati različitim redom. Ovdje predlažemo jedan način.
Izračunajmo najprije veličinu kuta β. Kako je kut od 109.8° vanjski kut kuta β, vrijedi:
β = 180° - 109.8° = 70.2°
Nadalje, izračunajmo veličinu kuta α.
Budući da zbroj veličina unutarnjih kutova u trokutu iznosi 180°, možemo pisati:
α + 70.2° + 33.4° = 180°
α + 103.6° = 180°
α = 180° - 103.6°
α = 76.4°
I konačno, izračunajmo mjeru trećeg nepoznatog kuta γ. To je vanjski kut kuta od 33.4° stoga slijedi
γ + 33.4° = 180°
γ = 180° - 33.4°
γ = 146.6°
Odnos vanjskog i suprotnih unutarnjih kutova u trokutu
U trokutu iz prethodnoga zadatka istaknut je jedan vanjski i dva unutarnja kuta od kojih nijedan nije njegov pripadni.
Primjećuješ li u kakvom su odnosu? Okreni karticu i provjeri svoj odgovor.
Veličina vanjskoga kuta trokuta jednaka je zbroju veličina unutarnjih kutova trokuta koji mu nisu pripadni.
Vanjski kut trokuta jednak je zbroju veličina njemu nasuprotnih unutarnjih kutova.
α' = β + γ, β' = α + γ, γ' = α + β