Najveći zajednički djelitelj
Uvod
Učiteljica želi složiti paketiće od crvenih i zelenih lizalica. Koliko se najviše jednakih paketića može složiti od 36 crvenih i 54 zelene lizalice tako da se sve lizalice iskoriste?
Ovakav zadatak i zadatke slične njemu lako ćemo riješiti ako znamo odrediti zajedničke djelitelje dvaju ili više brojeva.
Nauči
Ako imamo zadana dva broja, među njihovim djeliteljima uvijek ćemo naći zajednički djelitelj.
Primjerice, svi djelitelji broja 9 su 1, 3 i 9; svi djelitelji broja 15 su 1, 3, 5 i 15.
Brojevi 9 i 15 imaju zajedničke djelitelje 1 i 3.
3 je veći od 1 i broj 3 je najveći zajednički djelitelj brojeva 9 i 15.
Najveći zajednički djelitelj brojeva 9 i 15 kraće zapisujemo D (9, 15) = 3.
Pri određivanju najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju brojeva brojeve rastavljamo na proste faktore.
Ponovimo
U sljedećim zadatcima ponovi i prisjeti se što si dosad naučio o prostim brojevima i rastavu brojeva na proste faktore.
Zadatak 1.
Primjer 1.
Riješit ćemo problem iz uvoda.
Učiteljica želi složiti paketiće od crvenih i zelenih lizalica. Koliko se najviše jednakih paketića može složiti od 36 crvenih i 54 zelene lizalice tako da se sve lizalice iskoriste?
Rastavimo najprije oba broja na proste faktore.
36 = 2 · 18 =
= 2 · 2 · 9 =
= 2 · 2 · 3 · 3
54 = 2 · 27 =
= 2 · 3 · 9 =
= 2 · 3 · 3 · 3
Uočimo „crvene” proste faktore koji se pojavljuju u oba rastava.
Njihov je umnožak najveći zajednički djelitelj zadanih brojeva.
D (36, 54) = 2 · 3 · 3 = 18
Do istog rezultata dolazimo brže ako istodobno oba broja dijelimo njihovim zajedničkim prostim djeliteljima dok je to moguće. U trenutku kada to više nije moguće, postupak je gotov. Umnožak tako dobivenih faktora jest najveći zajednički djelitelj.
D (36, 54) = 2 · 3 · 3 = 18
Zadatak 2.
Primjer 2.
Brojevi a i b koji nemaju zajedničkih prostih faktora nazivaju se RELATIVNO PROSTI BROJEVI.
Tada vrijedi D (a, b) = 1.
Provjerimo jesu li brojevi 9 i 14 relativno prosti.
Rastavimo li oba broja na proste faktore, dobivamo:
9 = 3 · 3
14 = 2 ·7
Vidimo da nemaju zajedničkih prostih faktora.
Dakle, relativno su prosti, tj. D (9, 14) = 1