Proširivanje i skraćivanje razlomaka
Uvod
Marko, Petar i Luna dobili su zadatak da oboje zadani dio kruga.
Marko je trebao obojiti [latex]\frac{1}{2}[/latex], Petar [latex]\frac{2}{4}[/latex], a Luna [latex]\frac{4}{8}[/latex] kruga.
Tko je obojio najviše?
Ako pogledamo slike obojenih krugova, vidjet ćemo da su svi troje obojili jednaki dio kruga.
Nauči
Uoči da se svi ti međusobno jednaki razlomci dobivaju množenjem brojnika i nazivnika [latex]\frac{1}{2}[/latex] istim brojem.
[latex]\frac{1}{2}[/latex] = [latex]\frac{1·2}{2·2}[/latex] = [latex]\frac{2}{4}[/latex]
[latex]\frac{1}{2}[/latex] = [latex]\frac{1·4}{2·4}[/latex] = [latex]\frac{4}{8}[/latex]
[latex]\frac{2}{4}[/latex] = [latex]\frac{2·2}{4·2}[/latex] = [latex]\frac{4}{8}[/latex]
Opisani postupak naziva se proširivanje razlomaka.
Razlomak se PROŠIRUJE tako da se brojnik i nazivnik pomnože istim prirodnim brojem.
Prošireni razlomak jednak je početnom.
[latex]\frac{1}{5}[/latex] = [latex]\frac{1·2}{5·2}[/latex] = [latex]\frac{2}{10}[/latex]
Za jednake razlomke kažemo još da su ekvivalentni.
[latex]\frac{1}{5}[/latex] = [latex]\frac{1·2}{5·2}[/latex] = [latex]\frac{1·3}{5·3}[/latex] = [latex]\frac{1·4}{5·4}[/latex] = [latex]\frac{1·5}{5·5}[/latex] = ...
[latex]\frac{1}{5}[/latex] = [latex]\frac{2}{10}[/latex] = [latex]\frac{3}{15}[/latex] = [latex]\frac{4}{20}[/latex] = [latex]\frac{5}{25}[/latex]
Ima beskonačno mnogo razlomaka koje možemo dobiti proširivanjem nekog razlomka.
Primjer 1.
Zadatak 1.
Zadatak 2.
Zadatak 3.
Nauči
Dijeljenjem brojnika i nazivnika istim prirodnim brojem dobivamo razlomak jednak početnom.
Opisani postupak naziva se skraćivanje razlomaka.
[latex]\frac{6}{9}[/latex] = [latex]\frac{6:3}{9:3}[/latex] = [latex]\frac{2}{3}[/latex]
[latex]\frac{5}{10}[/latex] = [latex]\frac{5:5}{10:5}[/latex] = [latex]\frac{1}{2}[/latex]
[latex]\frac{8}{12}[/latex] = [latex]\frac{8:2}{12:2}[/latex] = [latex]\frac{4}{6}[/latex]
Razlomak se skraćuje tako da se brojnik i nazivnik podijele istim prirodnim brojem.
Taj broj stoga mora biti njihov zajednički djelitelj.
Skraćeni razlomak vrijednosno je jednak početnom.
Na primjer:
[latex]\frac{45}{36}[/latex] = [latex]\frac{45:9}{36:9}[/latex] = [latex]\frac{5}{4}[/latex]
Zadatak 4.
Razlomak se može skraćivati i više puta dok god postoji zajednički djelitelj brojnika i nazivnika (različit od 1). Razlomak koji se više ne može skratiti naziva se
NESKRATIVI RAZLOMAK.
Razlomak koji se može skratiti naziva se
SKRATIVI RAZLOMAK.
Primjer 2.
Skrati [latex]\frac{16}{48}[/latex] do neskrativog razlomka.
Rješenje
Skraćujemo sve dok možemo:
[latex]\frac{16}{48}[/latex] = [latex]\frac{16:2}{48:2}[/latex] = [latex]\frac{8:2}{24:2}[/latex] = [latex]\frac{4:2}{12:2}[/latex] = [latex]\frac{2:2}{6:2}[/latex] = [latex]\frac{1}{3}[/latex].
Brojevi 1 i 3 više nemaju zajedničkih djelitelja različitih od 1, tj. relativno su prosti pa je zato razlomak [latex]\frac{1}{3}[/latex] neskrativ.
Do neskrativog razlomka možemo doći samo jednim skraćivanjem, i to brojem 16 koji je najveći zajednički djelitelj brojnika 16 i nazivnika 48:
[latex]\frac{16}{48}[/latex] = [latex]\frac{16:16}{48:16}[/latex] = [latex]\frac{1}{3}[/latex].
Što su veći brojevi kojima skraćujemo, to je skraćivanje do neskrativog razlomka brže.
Zadatak 5.
Zadatak 6.
Zadatak 7.
Primjer 3.
Koji prirodni broj treba upisati umjesto znaka x kako bi jednakost bila točna?
[latex]\frac{4}{7}[/latex] = [latex]\frac{x}{28}[/latex]
[latex]\frac{4}{7}[/latex] = [latex]\frac{x}{28}[/latex]
Rješenje
Zadana su oba nazivnika pa uočavamo da broj 7 (nazivnik prvog razlomka) moramo pomnožiti brojem 4 da dobijemo 28. Ali tada i brojnik prvog razlomka moramo pomnožiti s 4 da se vrijednost razlomka ne bi promijenila.
[latex]\frac{4}{7}[/latex] = [latex]\frac{16}{28}[/latex]
Koji prirodni broj treba upisati umjesto znaka x kako bi jednakost bila točna?
[latex]\frac{x}{36}[/latex] = [latex]\frac{8}{9}[/latex]
[latex]\frac{x}{36}[/latex] = [latex]\frac{8}{9}[/latex]
Rješenje:
Proširivanjem drugog razlomka s 4 dobit ćemo prvi razlomak (jer je 9 · 4 = 36). Odatle slijedi da umjesto znaka x treba upisati broj 32.
[latex]\frac{32}{36}[/latex] = [latex]\frac{8}{9}[/latex]
Koji prirodni broj treba upisati umjesto znaka x kako bi jednakost bila točna?
[latex]\frac{4}{x}[/latex] = [latex]\frac{44}{99}[/latex]
[latex]\frac{4}{x}[/latex] = [latex]\frac{44}{99}[/latex]
Rješenje:
Poznata su nam oba brojnika iz čega zaključujemo da ćemo skraćivanjem drugog razlomka s 11 dobiti prvi razlomak (jer je 44 : 11 = 4)
[latex]\frac{4}{9}[/latex] = [latex]\frac{44}{99}[/latex]