Množenje cijelih brojeva
Prisjeti se
Množenje je skraćeno zbrajanje.
[latex]3\cdot 5=5+5+5[/latex]
Množenje je kao i zbrajanje komutativna i asocijativna računska operacija.
[latex]3\cdot 5=5\cdot 3[/latex]
[latex]\left(2\cdot 3\right)\cdot 5=2\cdot \left(3\cdot 5\right)[/latex]
Tablicu množenja znaš.
Možeš li izračunati [latex]3\cdot \left(–5\right)[/latex] ?
Množenje je skraćeno zbrajanje, dakle vrijedi
[latex]3\cdot \left(–5\right)=–5+\left(–5\right)+\left(–5\right)[/latex]
Pa je konačan rezultat
[latex]3\cdot \left(–5\right)=–15[/latex]
Uočavaš li neko pravilo?
Kakvog su predznaka bili brojevi?
Kako bismo riješili zadatak ako bi faktori zamijenili mjesta?
Npr. [latex]–5\cdot 3[/latex]
Što bi značilo -5 puta dodajem broj 3?
Nauči
Množenje cijelih brojeva različitih predznaka
Pozitivan • Negativan
[latex]3\cdot \left(–5\right)=–15[/latex]
Umnožak je negativan.
Negativan • Pozitivan
[latex]–5\cdot 3=–15[/latex]
Umnožak je negativan.
Dva broja različitih predznaka množe se tako da se pomnože njihove apsolutne vrijednosti.
Umnožak ima negativan predznak.
Množenje cijelih brojeva jednakih predznaka
Množiti dva pozitivna broja znamo već otprije jer smo naučili množiti prirodne brojeve, a naučili smo i da je umnožak dvaju prirodnih brojeva opet prirodni broj (pozitivan cijeli broj).
Pozitivan · Pozitivan = Pozitivan
-5 · (-3) = ?
Ako znamo da je
5 · (-3) = -15
što će se dogoditi s umnoškom ako ispred njega dopišemo negativan predznak?
Dobit ćemo suprotni broj.
- 5 · (-3) = - (-15) = 15
Umnožak je pozitivan.
Dva broja jednakih predznaka množe se tako da se pomnože njihove apsolutne vrijednosti.
Umnožak ima pozitivan predznak.
Upamti
Kao pomoć pri množenju cijelih brojeva poslužit će ti tablica predznaka.
Uz nju ćeš lako odrediti predznake umnoška dvaju cijelih brojeva.
Za svaki cijeli broj vrijedi
[latex]a\cdot 0=0\cdot a=0[/latex]
[latex]a\cdot 1=1\cdot a=a[/latex]
[latex]a\cdot \left(–1\right)=–1\cdot a=–a[/latex]
Zadatak 1.
Zadatak 2.
Zadatak 3.
Zadatak 4.
Kvadrat cijelog broja
U 5. smo razredu naučili kako se umnožak dvaju jednakih prirodnih brojeva može zapisati i na kraći način, tj. kao kvadrat tog prirodnog broja.
[latex]6\cdot 6=6^2[/latex]
Na isti način i umnožak dvaju jednakih cijelih brojeva možemo zapisati kao kvadrat.
[latex]–4\cdot \left(–4\right)=\left(–4\right)^2[/latex]
Uoči sljedeće:
[latex]\left(–4\right)^2\neq –4^2[/latex]
jer [latex]\left(–4\right)^2=–4\cdot \left(–4\right)=16[/latex],
a [latex]–4^2=–4\cdot 4=–16[/latex].
U prvom slučaju imali smo kvadrat negativnog broja, a u drugom negativan kvadrat pozitivnog broja.
Kvadrat cijelog broja uvijek je pozitivan.
Primjer 1.
a) Izračunaj
(-7)2
Kvadrat negativnog cijelog broja.
(-7)2 = -7 · (-7) = 49
b) Izračunaj
- 72
Kvadrat pozitivnog cijelog broja ispred kojeg se nalazi negativan predznak.
- 72 = - 7 · 7 = -49
Zadatak 5.
Množenje više faktora
Primjer 2.
a) Izračunaj
-5 · 2 · (-3) · (-4)
Množenje je komutativno i asocijativno, što znači da možemo grupirati faktore po volji.
-5 · 2 · (-3) · (-4) =
= -10 · 12
= -120
Promotrimo predznake faktora i umnoška.
-5 · 2 · (-3) · (-4) = -120
3 negativna faktora i 1 pozitivan, a umnožak je negativan.
b) Izračunaj
-5 · 2 · 3 · (-4)
Množenje je komutativno i asocijativno, što znači da možemo grupirati faktore po volji.
-5 · 2 · 3 · (-4) =
= -10 · (-12)
= 120
Promotrimo predznake faktora i umnoška.
-5 · 2 · 3 · (-4) = 120
2 negativna faktora i 2 pozitivna, a umnožak je pozitivan.
O čemu ovisi predznak umnoška više faktora?
O broju pozitivnih ili o broju negativnih faktora?
Ako je broj negativnih faktora PARAN, umnožak je POZITIVAN,
a ako je broj negativnih faktora NEPARAN, umnožak je NEGATIVAN.
Zadatak 6.
Izvođenje više računskih radnji
Primjer 3.
a) Izračunaj
-5 + 4 · (-3)
Ako u zadatku nemamo zagrada, tada prvo rješavamo množenje.
= -5 + 4 · (-3)
= -5 + (-12)
= -17
b) Izračunaj
11 - 3 · (6 - 11) - 2 · (-5 + 7)
Budući da u zadatku imamo zagrade, prvo njih rješavamo, potom množimo, a na kraju zbrajamo/oduzimamo.
= 11 - 3 · (6 - 11) - 2 · (-5 + 7)
= 11 - 3 · (-5) - 2 · 2
= 11 - (-15) - 4 (Obrati pažnju na oduzimanje negativnog broja, tj. - (-15) i zapiši ga kao + 15)
= 11 + 15 - 4
= 26 - 4
= 22