Rješavanje linearnih jednadžbi s jednom nepoznanicom

Jednakosti poput ovih:

x + 6 = 12,

a + 1 = 2a + 3

nazivaju se jednadžbama.

U njima su dva izraza povezana znakom jednakosti.

Nepoznati brojevi označeni slovima x, a itd. nazivaju se nepoznanice.

Rješenje jednadžbe jest broj koji uvršten u jednadžbu umjesto nepoznanice daje točnu
jednakost.

To možemo napisati i kao jednadžbu:

2x + 210 = 330

Jednadžbe poput ove 2x + 210 = 330 i slične nazivaju se linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom x.

Kako riješiti jednadžbu: 2x + 210 = 330

[latex]\begin{aligned}2x+210 & =330 \\ 2x+210\textcolor{red}{-210} & =330\textcolor{red}{-210}\end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}2x+210 & =330 \\ 2x+210\textcolor{red}{-210} & =330\textcolor{red}{-210} \\ 2x & =120\; /:2 \\ x & =120:2 \\ x & =60\end{aligned}[/latex]

Pri svođenju jednadžbi na jednostavniji oblik i njihovu rješavanju
koristimo se sljedećim svojstvima:

1. Jednakost se neće promijeniti ako lijevoj i desnoj strani dodamo
   ili oduzmemo isti broj.
   Ako je a = b , onda je i a + c = b + c.

2. Jednakost se neće promijeniti ako obje strane jednakosti pomnožimo ili podijelimo istim brojem. (Taj broj mora biti različit od 0.)

Ako je a = b, onda je i a · c = b · c .

Nauči kako rješavamo jednadžbe s jednom nepoznanicom

 -3x + 10 = 4

[latex]\begin{aligned}-3x+10 & =4 \\ -3x+10\textcolor{red}{-10} & =4\textcolor{red}{-10} \\ -3x & =-6\; /:(-3) \\ x & =-6:(-3) \\ x & =2\end{aligned}[/latex]

Provjera:

[latex]\begin{aligned}-3x+10 & =4 \\ -3\cdot \textcolor{red}{2}+10 & =4 \\ -6+10 & =4\; \\ 4 & =4\end{aligned}[/latex]

Dakle rješenje jednadžbe x = 2 je točno.

5x + 4 = 6x - 3

[latex]\begin{aligned}5x+4 & =6x\space –\space 3 \\ 5x+4\textcolor{red}{-4} & =6x\space –\space 3\textcolor{red}{-4} \\ 5x & =6x-7 \\ 5x\textcolor{red}{-6x} & =6x\textcolor{red}{-6x}-7 \\ -x & =-7\end{aligned}[/latex]

–x je broj suprotan broju x pa vrijedi: x = 7

Napomena: –x = –1 ⋅ x.

Zadatak se može riješiti i dijeljenjem jednadžbe s –1

[latex]\begin{aligned}-x & =-7 \\ -x & =-7/:(-1) \\ x & =7 \\ \end{aligned}[/latex]

Provjera:

[latex]\begin{aligned}5x+4 & =6x\space –\space 3 \\ 5\cdot \textcolor{red}{7}+4 & =6\cdot \textcolor{red}{7}\space –\space 3 \\ 35+4 & =42-3 \\ 39 & =39\end{aligned}[/latex]

Riješi jednadžbu i provjeri rješenje

23 – x = 4x + 38

[latex]\begin{aligned}23-x & =4x+38 \\ -x\textcolor{red}{-}4x & =38\textcolor{red}{-}23 \\ -5x & =15 \\ -5x & =15/:(-5) \\ x & =-3\end{aligned}[/latex]

Provjera:

[latex]\begin{aligned}23-\textcolor{red}{x} & =4\textcolor{red}{x}+38 \\ 23-\textcolor{red}{(-3)} & =4\cdot \textcolor{red}{(-3)}+38 \\ 23+3 & =-12+38 \\ 26 & =26\end{aligned}[/latex]