Rješavanje linearnih jednadžbi s jednom nepoznanicom
S jednadžbama ste se susreli još u nižim razredima osnovne škole u ovakvom obliku.
Nauči
[latex]\fbox{neki \ broj}+ 5 = 9[/latex]
i
[latex]6\cdot \fbox {neki \ broj} = 42[/latex]
Sada ćemo to zapisati malo drukčije:
x + 5 = 9
i
6 · x = 42
Jednakosti poput ovih:
x + 6 = 12,
a + 1 = 2a + 3
nazivaju se jednadžbama.
U njima su dva izraza povezana znakom jednakosti.
Nepoznati brojevi označeni slovima x, a itd. nazivaju se nepoznanice.
Rješenje jednadžbe jest broj koji uvršten u jednadžbu umjesto nepoznanice daje točnu
jednakost.
Zadatak 1.
Nepoznanice na vagi poveži s ponuđenim brojevima tako da ostanu u ravnoteži.
Nauči
To možemo napisati i kao jednadžbu:
2x + 210 = 330
Jednadžbe poput ove 2x + 210 = 330 i slične nazivaju se linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom x.
Kako riješiti jednadžbu: 2x + 210 = 330
[latex]\begin{aligned}2x+210 & =330 \\ 2x+210\textcolor{red}{-210} & =330\textcolor{red}{-210}\end{aligned}[/latex]
[latex]\begin{aligned}2x+210 & =330 \\ 2x+210\textcolor{red}{-210} & =330\textcolor{red}{-210} \\ 2x & =120\; /:2 \\ x & =120:2 \\ x & =60\end{aligned}[/latex]
Istraži
Istraži kako se rješavaju linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom u sljedećem interaktivnom prikazu. Klizačima možeš mijenjati broj kutija i kuglica.
Pri svođenju jednadžbi na jednostavniji oblik i njihovu rješavanju
koristimo se sljedećim svojstvima:
- Jednakost se neće promijeniti ako lijevoj i desnoj strani dodamo
ili oduzmemo isti broj.
Ako je a = b , onda je i a + c = b + c.
2. Jednakost se neće promijeniti ako obje strane jednakosti pomnožimo ili podijelimo istim brojem. (Taj broj mora biti različit od 0.)
Ako je a = b, onda je i a · c = b · c .
Nauči kako rješavamo jednadžbe s jednom nepoznanicom
-3x + 10 = 4
[latex]\begin{aligned}-3x+10 & =4 \\ -3x+10\textcolor{red}{-10} & =4\textcolor{red}{-10} \\ -3x & =-6\; /:(-3) \\ x & =-6:(-3) \\ x & =2\end{aligned}[/latex]
Provjera:
[latex]\begin{aligned}-3x+10 & =4 \\ -3\cdot \textcolor{red}{2}+10 & =4 \\ -6+10 & =4\; \\ 4 & =4\end{aligned}[/latex]
Dakle rješenje jednadžbe x = 2 je točno.
5x + 4 = 6x - 3
[latex]\begin{aligned}5x+4 & =6x\space –\space 3 \\ 5x+4\textcolor{red}{-4} & =6x\space –\space 3\textcolor{red}{-4} \\ 5x & =6x-7 \\ 5x\textcolor{red}{-6x} & =6x\textcolor{red}{-6x}-7 \\ -x & =-7\end{aligned}[/latex]
–x je broj suprotan broju x pa vrijedi: x = 7
Napomena: –x = –1 ⋅ x.
Zadatak se može riješiti i dijeljenjem jednadžbe s –1
[latex]\begin{aligned}-x & =-7 \\ -x & =-7/:(-1) \\ x & =7 \\ \end{aligned}[/latex]
Provjera:
[latex]\begin{aligned}5x+4 & =6x\space –\space 3 \\ 5\cdot \textcolor{red}{7}+4 & =6\cdot \textcolor{red}{7}\space –\space 3 \\ 35+4 & =42-3 \\ 39 & =39\end{aligned}[/latex]
Zadatak 2.
Nauči
Riješi jednadžbu i provjeri rješenje
23 – x = 4x + 38
[latex]\begin{aligned}23-x & =4x+38 \\ -x\textcolor{red}{-}4x & =38\textcolor{red}{-}23 \\ -5x & =15 \\ -5x & =15/:(-5) \\ x & =-3\end{aligned}[/latex]
Provjera:
[latex]\begin{aligned}23-\textcolor{red}{x} & =4\textcolor{red}{x}+38 \\ 23-\textcolor{red}{(-3)} & =4\cdot \textcolor{red}{(-3)}+38 \\ 23+3 & =-12+38 \\ 26 & =26\end{aligned}[/latex]