Rješavanje linearnih jednadžbi s jednom nepoznanicom 2
Uvod
Zamisli neki broj, uvećaj ga za 5 pa broj koji si dobio uvećaj tri puta.
Jedna ovakva obična rečenica zahtijeva zagrade kada je želimo zapisati matematičkim jezikom.
(x + 5) · 3
Zadatak 1.
Nauči
Primjer 1.
Da bismo riješili jednadžbu sa zagradama, najprije se treba osloboditi zagrada. Pritom slijedimo pravilo:
Ako je ispred zagrade +, zagrade se brišu, a brojevi u zagradama ostaju nepromijenjeni.
[latex]\begin{aligned}4x+(3-2x) & =17 \\ \end{aligned}[/latex]
[latex]\begin{aligned}4x+3-2x & =17 \\ \end{aligned}[/latex]
[latex]\begin{aligned}4x-2x & =17-3 \\ \end{aligned}[/latex]
[latex]\begin{aligned}2x & =14 /:2 \\ \end{aligned}[/latex]
[latex]\begin{aligned}x & =7\\ \end{aligned}[/latex]
Primjer 2.
Ako je ispred zagrade —, zagrade se brišu, a brojevi u zagradama mijenjaju predznak.
[latex]\begin{aligned}3x-(4-2x) & =26 \end{aligned}[/latex]
[latex]\begin{aligned}3x-4\textcolor{red}{+}2x & =26 \end{aligned}[/latex]
[latex]\begin{aligned}3x+2x & =26+4 \end{aligned}[/latex]
[latex]\begin{aligned}5x & =30 /:5 \end{aligned}[/latex]
[latex]\begin{aligned}x & =6 \end{aligned}[/latex]
Zadatak 2.
Nauči
Znamo da je množenje skraćeno zbrajanje.
3 · 5 = 5 + 5 + 5
Primjer množenja zagrada.
3 · (2x + 4) = (2x + 4) + (2x + 4) + (2x + 4)
Možemo to kraće napraviti primjenjujući svojstvo distributivnosti.
Ako se zagrada množi nekim brojem, zagrade se oslobađamo primjenjujući svojstvo distributivnosti (svaki element zagrade množimo brojem ispred zagrade).
Pripazi!
Ako se zagrada množi negativnim brojem, pripazi na predznake brojeva.
Primjer 3.
[latex]2x-5\cdot (4-3x)=2\cdot (3x-1)+4[/latex]
[latex]2x\textcolor{red}{-}20\textcolor{red}{+}15x=6x-2+4[/latex]
[latex]2x + 15x \textcolor{red}{-}6x=-2+4\textcolor{red}{+}20[/latex]
[latex]11x=22 /:11[/latex]
[latex]x=2[/latex]
Zadatak 3.
Nauči
Kojim brojem trebamo pomnožiti polovinu da bi rezultat bio prirodan broj?
[latex]\frac{1}{2}\cdot \textcolor{red}{2}=1,\space \frac{1}{2}\cdot \textcolor{red}{4}=2,\space \frac{1}{2}\cdot \textcolor{red}{6}=3...[/latex]
Bilo kojim višekratnikom broja 2.
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14...
Kojim brojem trebamo pomnožiti petinu da bi rezultat bio prirodan broj?
[latex]\frac{1}{5}\cdot \textcolor{red}{5}=1,\space \\ \frac{1}{5}\cdot \textcolor{red}{10}=2,\space \\ \frac{1}{5}\cdot \textcolor{red}{15}=3...[/latex]
Bilo kojim višekratnikom broja 5.
5, 10, 15, 20, 25, 30...
Da bismo jednostavnije riješili jednadžbe s razlomcima, poslužit ćemo se već naučenim matematičkim postupkom kojim ćemo se, kao čarobnim štapićem, „osloboditi” razlomaka i svesti jednadžbu na jednostavniji oblik.
Primjer 4.
Riješi jednadžbu.
[latex]4x+\frac{3}{5}=\frac{1}{2}[/latex]
Lijevu i desnu stranu jednadžbe treba pomnožiti najmanjim zajedničkim višekratnikom svih nazivnika koji se u njoj pojavljuju. Time smo se „oslobodili" nazivnika.
[latex]4x+\frac{3}{\textcolor{red}{5}}=\frac{1}{\textcolor{red}{2}}\space /\cdot \textcolor{red}{10}[/latex]
[latex]10\cdot 4x+\bcancel{10}^2\cdot \frac{3}{\bcancel{\textcolor{red}{5}}_1}=\bcancel{10}^5\cdot \frac{1}{\bcancel{\textcolor{red}{2}}_1}[/latex]
Prethodni korak možemo preskočiti tako da odgovarajuća množenja izračunamo napamet.
[latex]\textcolor{red}{10}\cdot 4x+\textcolor{red}{2}\cdot 3=\textcolor{red}{5}\cdot 1[/latex]
[latex]40x+6=5[/latex]
[latex]40x=5-6[/latex]
[latex]40x=-1 /:40[/latex]
[latex]x=\frac{-1}{40}[/latex]
Primjer 5.
Riješi jednadžbu:
[latex]\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}x+2[/latex]
[latex]\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}x+2 \space / \cdot 12[/latex]
12 : 4 = 3; 12 : 2 = 6; 12 : 3 = 4.
[latex]\textcolor{red}{3}\cdot 3x-\textcolor{red}{6}\cdot 1=\textcolor{red}{4}\cdot 2x+\textcolor{red}{12}\cdot 2[/latex]
[latex]9x-6=8x+24[/latex]
[latex]9x-8x=24+6[/latex]
[latex]x=30[/latex]
Znam da je
[latex]\frac{2}{5}x=\frac{2x}{5}[/latex]
i
[latex]\frac{2+x}{5}=\frac{2}{5}+\frac{x}{5}[/latex]
Primjer 6.
Riješi jednadžbu:
[latex]2x-\frac{x+3}{2}=\frac{4x-2}{6}+\frac{2x+2}{4}[/latex]
[latex]2x-\frac{x+3}{2}=\frac{4x-2}{6}+\frac{2x+2}{4}\space / \cdot12 [/latex]
[latex]\textcolor{red}{12} \cdot 2x-\textcolor{red}{6} \cdot(x+3)=\textcolor{red}{2}(4x-2) \cdot+\textcolor{red}{3}(2x+2)[/latex]
[latex]24x-6x-18=8x-4+6x+6[/latex]
[latex]24x-6x-8x-6x=-4+6+18[/latex]
[latex]4x=20 /:4[/latex]
[latex]x=5[/latex]
Zadatak 4.
Nauči
Apsloutna vrijednost nekog broja
je
udaljenost broja od nule na brojevnome pravcu.
Apsolutna vrijednost broja različitog od 0 uvijek je pozitivan broj.
Apsolutna vrijednost broja z označava se |z|.
Ako je
|a| = 4,
znači da umjesto a možemo uvrstiti
dva broja,
a1 = 4 i a2 = -4.
|x| = a (a > 0)
x1 = a x2 = -a
Ako je
|x| = -1,
znači da
jednadžba nema rješenja jer apsolutna vrijednost ne može biti negativan broj.
Pri rješavanju jednadžbi u kojima se pojavljuje apsolutna vrijednost cilj nam je
pojednostavniti jednadžbu do oblika u kojem dobivamo da je apsolutna vrijednost
jednaka nekom broju.
Primjer 7.
|x| + 8 = 12
|x| = 12 - 8
|x| = 4
x1 = 4 x2 = -4
Primjer 8.
|5 + 2x| - 2 = 7
|5 + 2x| = 7 + 2
|5 + 2x| = 9
5 + 2x = 9 5 + 2x = -9
2x = 9 - 5 2x = -9 - 5
2x = 4 /:2 2x = -14 /:2
x1 = 2 x2 = -7
Primjer 9.
3|x| - 5 = 13
3|x| = 13 + 5
3|x| = 18 /:3
|x| = 6
x1 = 6 x2 = - 6