Da bismo riješili jednadžbu sa zagradama, najprije se treba osloboditi zagrada. Pritom slijedimo pravilo:

Ako je ispred zagrade +, zagrade se brišu, a brojevi u zagradama ostaju nepromijenjeni.

[latex]\begin{aligned}4x+(3-2x) & =17 \\ \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}4x+3-2x & =17 \\ \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}4x-2x & =17-3 \\ \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}2x & =14 /:2 \\ \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}x & =7\\ \end{aligned}[/latex]

Ako je ispred zagrade —, zagrade se brišu, a brojevi u zagradama mijenjaju predznak.

[latex]\begin{aligned}3x-(4-2x) & =26  \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}3x-4\textcolor{red}{+}2x & =26  \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}3x+2x & =26+4  \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}5x & =30 /:5  \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}x & =6  \end{aligned}[/latex]

Ako se zagrada množi nekim brojem, zagrade se oslobađamo primjenjujući svojstvo distributivnosti (svaki element zagrade množimo brojem ispred zagrade).

Pripazi!

Ako se zagrada množi negativnim brojem, pripazi na predznake brojeva.

[latex]2x-5\cdot (4-3x)=2\cdot (3x-1)+4[/latex]

[latex]2x\textcolor{red}{-}20\textcolor{red}{+}15x=6x-2+4[/latex]

[latex]2x + 15x \textcolor{red}{-}6x=-2+4\textcolor{red}{+}20[/latex]

[latex]11x=22 /:11[/latex]

[latex]x=2[/latex]

Da bismo jednostavnije riješili jednadžbe s razlomcima, poslužit ćemo se već naučenim matematičkim postupkom kojim ćemo se, kao čarobnim štapićem, „osloboditi” razlomaka i svesti jednadžbu na jednostavniji oblik. 

Lijevu i desnu stranu jednadžbe treba pomnožiti najmanjim zajedničkim višekratnikom svih nazivnika koji se u njoj pojavljuju. Time smo se „oslobodili" nazivnika.

[latex]4x+\frac{3}{\textcolor{red}{5}}=\frac{1}{\textcolor{red}{2}}\space /\cdot \textcolor{red}{10}[/latex]

[latex]10\cdot 4x+\bcancel{10}^2\cdot \frac{3}{\bcancel{\textcolor{red}{5}}_1}=\bcancel{10}^5\cdot \frac{1}{\bcancel{\textcolor{red}{2}}_1}[/latex]

Prethodni korak možemo preskočiti tako da odgovarajuća množenja izračunamo napamet.

[latex]\textcolor{red}{10}\cdot 4x+\textcolor{red}{2}\cdot 3=\textcolor{red}{5}\cdot 1[/latex]

[latex]40x+6=5[/latex]

[latex]40x=-1 /:40[/latex]

[latex]x=\frac{-1}{40}[/latex]

Riješi jednadžbu:

[latex]\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}x+2[/latex]

[latex]\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}x+2 \space / \cdot 12[/latex]

[latex]\textcolor{red}{3}\cdot 3x-\textcolor{red}{6}\cdot 1=\textcolor{red}{4}\cdot 2x+\textcolor{red}{12}\cdot 2[/latex]

[latex]9x-6=8x+24[/latex]

[latex]9x-8x=24+6[/latex]

[latex]x=30[/latex]

Ako je

|a|=4,

znači da umjesto a možemo uvrstiti

 

dva broja

a1 = 4  i  a2 = -4.

|x| = a  (a > 0)


x1 = a    x2 = -a

Ako je

|x| = -1,

znači da

jednadžba nema rješenja jer apsolutna vrijednost ne može biti negativan broj.

Pri rješavanju jednadžbi u kojima se pojavljuje apsolutna vrijednost cilj nam je
pojednostavniti jednadžbu do oblika u kojem dobivamo da je apsolutna vrijednost
jednaka nekom broju.

|x| + 8 = 12

|x| = 12 - 8

|x| = 4

x1 = 4    x2 = -4

3|x| - 5 = 13

3|x| = 13 + 5

3|x| = 18 /:3

|x| = 6

x1 = 6       x2 = - 6

Rješavanje linearnih jednadžbi s jednom nepoznanicom 2

Uvod

Zadatak 1.

Nauči

Primjer 1.

Da bismo riješili jednadžbu sa zagradama, najprije se treba osloboditi zagrada. Pritom slijedimo pravilo:

Ako je ispred zagrade +, zagrade se brišu, a brojevi u zagradama ostaju nepromijenjeni.

[latex]\begin{aligned}4x+(3-2x) & =17 \\ \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}4x+3-2x & =17 \\ \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}4x-2x & =17-3 \\ \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}2x & =14 /:2 \\ \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}x & =7\\ \end{aligned}[/latex]

Primjer 2.

Ako je ispred zagrade —, zagrade se brišu, a brojevi u zagradama mijenjaju predznak.

[latex]\begin{aligned}3x-(4-2x) & =26  \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}3x-4\textcolor{red}{+}2x & =26  \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}3x+2x & =26+4  \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}5x & =30 /:5  \end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}x & =6  \end{aligned}[/latex]

Zadatak 2.

Nauči

Ako se zagrada množi nekim brojem, zagrade se oslobađamo primjenjujući svojstvo distributivnosti (svaki element zagrade množimo brojem ispred zagrade).

Pripazi!

Ako se zagrada množi negativnim brojem, pripazi na predznake brojeva.

Primjer 3.

[latex]2x-5\cdot (4-3x)=2\cdot (3x-1)+4[/latex]

[latex]2x\textcolor{red}{-}20\textcolor{red}{+}15x=6x-2+4[/latex]

[latex]2x + 15x \textcolor{red}{-}6x=-2+4\textcolor{red}{+}20[/latex]

[latex]11x=22 /:11[/latex]

[latex]x=2[/latex]

Zadatak 3.

Nauči

Da bismo jednostavnije riješili jednadžbe s razlomcima, poslužit ćemo se već naučenim matematičkim postupkom kojim ćemo se, kao čarobnim štapićem, „osloboditi” razlomaka i svesti jednadžbu na jednostavniji oblik. 

Primjer 4.

Riješi jednadžbu.

[latex]4x+\frac{3}{5}=\frac{1}{2}[/latex]

Lijevu i desnu stranu jednadžbe treba pomnožiti najmanjim zajedničkim višekratnikom svih nazivnika koji se u njoj pojavljuju. Time smo se „oslobodili" nazivnika.

[latex]4x+\frac{3}{\textcolor{red}{5}}=\frac{1}{\textcolor{red}{2}}\space /\cdot \textcolor{red}{10}[/latex]

[latex]10\cdot 4x+\bcancel{10}^2\cdot \frac{3}{\bcancel{\textcolor{red}{5}}_1}=\bcancel{10}^5\cdot \frac{1}{\bcancel{\textcolor{red}{2}}_1}[/latex]

Prethodni korak možemo preskočiti tako da odgovarajuća množenja izračunamo napamet.

[latex]\textcolor{red}{10}\cdot 4x+\textcolor{red}{2}\cdot 3=\textcolor{red}{5}\cdot 1[/latex]

[latex]40x+6=5[/latex]

[latex]40x=5-6[/latex]

[latex]40x=-1 /:40[/latex]

[latex]x=\frac{-1}{40}[/latex]

Primjer 5.

Riješi jednadžbu:

[latex]\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}x+2[/latex]

[latex]\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}x+2 \space / \cdot 12[/latex]

12 : 4 = 3;   12 : 2 = 6;   12 : 3 = 4.

[latex]\textcolor{red}{3}\cdot 3x-\textcolor{red}{6}\cdot 1=\textcolor{red}{4}\cdot 2x+\textcolor{red}{12}\cdot 2[/latex]

[latex]9x-6=8x+24[/latex]

[latex]9x-8x=24+6[/latex]

[latex]x=30[/latex]

Primjer 6.

Riješi jednadžbu:

[latex]2x-\frac{x+3}{2}=\frac{4x-2}{6}+\frac{2x+2}{4}[/latex]

[latex]2x-\frac{x+3}{2}=\frac{4x-2}{6}+\frac{2x+2}{4}\space  / \cdot12 [/latex]

[latex]\textcolor{red}{12} \cdot 2x-\textcolor{red}{6} \cdot(x+3)=\textcolor{red}{2}(4x-2) \cdot+\textcolor{red}{3}(2x+2)[/latex]

[latex]24x-6x-18=8x-4+6x+6[/latex]

[latex]24x-6x-8x-6x=-4+6+18[/latex]

[latex]4x=20 /:4[/latex]

[latex]x=5[/latex]

Zadatak 4.

Nauči

Ako je

|a| = 4,

znači da umjesto a možemo uvrstiti

 

dva broja,

a1 = 4  i  a2 = -4.

|x| = a  (a > 0)


x1 = a    x2 = -a

Ako je

|x| = -1,

znači da

jednadžba nema rješenja jer apsolutna vrijednost ne može biti negativan broj.

Pri rješavanju jednadžbi u kojima se pojavljuje apsolutna vrijednost cilj nam je
pojednostavniti jednadžbu do oblika u kojem dobivamo da je apsolutna vrijednost
jednaka nekom broju.

Primjer 7.

|x| + 8 = 12

|x| = 12 - 8

|x| = 4

x1 = 4    x2 = -4

Primjer 8.

|5 + 2x| - 2 = 7

|5 + 2x| = 7 + 2

|5 + 2x| = 9

5 + 2x = 9                     5 + 2x = -9

2x = 9 - 5                     2x = -9 - 5

2x = 4 /:2                    2x = -14 /:2

x1 = 2                   x2 = -7

Primjer 9.

3|x| - 5 = 13

3|x| = 13 + 5

3|x| = 18 /:3

|x| = 6

x1 = 6       x2 = - 6

Zadatak 5.