Problemski zadatci
Trik s brojevima
Naravno da se ne radi o čaroliji, nego o matematici. Da bismo razumjeli matematiku koja se skriva iza ovog i sličnih trikova s brojevima, moramo najprije naučiti kako rečenice na hrvatskom jeziku prevesti u matematičke izraze.
Nauči
Prevođenje u matematičke izraze
Ako je duljina cijelog puta d kilometara, koliki put
još mora prijeći da bi stigao u mjesto B?
U svakodnevnom životu često se susrećemo s problemima u kojima su nam vrijednosti jedne ili više veličina nepoznate. Pri rješavanju takvih problema potrebno je svakodnevni govor zapisati matematičkim jezikom.
Radi lakšeg razumijevanja uvodni problem možemo ilustrirati sljedećim crtežom
(okreni karticu)
RAZMISLI... Kako bismo riješili problem kad bismo znali duljinu cijelog puta, odnosno udaljenost mjesta A i B? Kojom bismo računskom operacijom izračunali duljinu preostalog puta?
Na temelju prethodnih razmatranja zaključujemo da ćemo duljinu preostalog puta izračunati tako da od duljine cijelog puta oduzmemo duljinu prijeđenog puta, što zapisujemo odgovarajućim matematičkim izrazom.
| Duljina cijelog puta (km) | Prijeđeni put (km) | Preostali put (km) |
| d | 6 | d - 6 |
Zadatak 1.
Zadatak 2.
Zadatak 3.
Pravila prevođenja
Pri prevođenju svakodnevnoga govora u matematičke izraze važno je uočiti riječ koja određuje računsku operaciju. Evo najčešćih primjera:
"dodaj, pribroji"
"više od"
"uvećano za"
ZBRAJANJE (+)
"pomnoži s, uvećaj ... puta"
"dvostruko, trostruko... veći"
"dvokratnik, trokratnik..."
MNOŽENJE (·)
"umanji za, oduzmi"
"manje od"
"umanjeno za"
ODUZIMANJE (-)
"podijeli s, umanji ... puta"
"dvostruko, trostruko... manji"
"dva puta, tri puta... manji"
DIJELJENJE (:)
Zadatak 4.
Primijeni
Matematika iza trika s brojevima
Već ste naučili pojednostavnjivati matematičke izraze izlučivanjem zajedničkoga faktora i izračunavati vrijednost matematičkoga izraza za zadani broj.
Ponovi te sadržaje u sljedeća dva zadatka. To će ti, uz vještinu zapisa svakodnevnoga govora matematičkim jezikom, pomoći da razumijevanje matematike koja stoji iza trika s brojevima.
Pojednostavni zadani izraz:
3a + 7 + 5a - 4.
3a i 5a imaju zajedničko a, pa ga izlučimo.
3a + 7 + 5a - 4 =
= (3 + 5)a + (7 - 4) =
= 8a + 3
Izračunaj vrijednost izraza
x + 10x + 7, ako je x = 5.
Prisjeti se: x = 1 [latex]\cdot [/latex] x.
Pojednostavnimo izraz:
x + 10x + 7 = (1 + 10)x + 7 = 11x + 7
Uvrstimo broj 5 umjesto x u izrazu:
11x + 7 = 11 [latex]\cdot [/latex] 5 + 7 = 55 + 7 = 62
Matematička tajna uvodnog trika s brojevima.
Zapišimo pojedine korake matematičkim jezikom i pojednostavnimo dobivene matematičke izraze.
| REČENICA | MATEMATIČKI IZRAZ |
| Zamisli bilo koji broj. | Zamišljeni broj označimo s x |
| Dodaj mu broj 5. | x + 5 |
| Dobiveni rezultat pomnoži s 2. | (x + 5) [latex]\cdot[/latex] 2 = 2x + 10 distributivnost množenja |
| Novi rezultat umanji za 10. | 2x + 10 – 10 = 2x + 0 = 2x |
Dakle, bez obzira na to koji broj zamislimo, uvijek ćemo na kraju dobiti njegovu dvostruku vrijednost. Primjerice, ako zamislimo broj 13 i provedemo sve zadane operacije, na kraju ćemo dobiti 26.
Zato i možemo pogoditi zamišljeni broj. Jednostavno konačni rezultat podijelimo s 2!
Zadatak 5.
Slika prikazuje prozor na kući, koji je u obliku pravokutnoga trokuta. Duljine stranica toga trokuta istaknute su na slici. Napiši matematički izraz za opseg toga pravokutnog trokuta i pojednostavni zapisani izraz.
Ponovi i uvježbaj
Zapis u obliku jednadžbe
U prethodnim primjerima naučili smo kako rečenice zapisati u obliku matematičkih izraza. Prisjeti se iz 5. razreda kako jednostavniju problemsku situaciju zapisati u obliku jednadžbe, primjenjujući pritom „pravila prevođenja” koja si naučio/la u ovoj jedinici.
Zapiši u obliku jednadžbe sljedeći problem:
Neki broj uvećan za 19 daje 36.
Najprije uvedemo nepoznanicu.
Nepoznati broj označimo s x.
NAPOMENA: nepoznati broj mogli smo označiti i nekim drugim slovom.
Prevedemo dijelove rečenice u matematičke simbole i tako postavimo jednadžbu.
| Neki broj (nepoznati broj) |
uvećamo za | 19 | dobijemo | 36 |
| x | + | 19 | = | 36 |
Dakle, jednadžba zadanog problema glasi x + 19 = 36.
Kako prepoznati rečenice koje
u sebi „skrivaju” jednadžbu?
Po riječima kao što su: je, jednako je, dobijemo, daje, postaje i slično.
Zadatak 6.
Zadatak 7.
Za znatiželjne
Istraži još nekoliko vrlo zanimljivih trikova s brojevima, kao i geometrijskih trikova u članku iz matematičkog časopisa Matka (Marina Seifert, Matematički trikovi, Matka 25). Isprobaj trikove samostalno ili sa svojim prijateljima, pa zajedno primijenite ono što ste naučili i ponovili u ovoj jedinici kako biste odgonetnuli matematiku koja se skriva iza tih trikova. Za pomoć se možeš obratiti svom učitelju matematike.
Predlažemo da samostalno osmisliš svoj čarobni trik i prikažeš ga na plakatu kojim ćeš ukrasiti razredni pano ili ga izvedeš pred razredom i tako svoje prijatelje potakneš na razmišljanje... Plakat možeš ukrasiti crtežima i ilustracijama, a možeš ga izraditi i u nekom od dostupnih online alata, kao što je primjerice Canva.