Problemski zadatci 2

Cijena napitka

Nauči

Da bismo odredili cijenu pojedinog napitka, treba redom riješiti ponuđene linearne jednadžbe koje su zadane simbolima (sličicama) i povezane rješenjem prethodne jednadžbe.

Cijena limunade

Promotrimo prvu jednadžbu iz koje možemo odrediti cijenu limunade i zapišimo je svakodnevnim govorom.

Četiri limunade stoje 28 kuna. Kolika je cijena jedne limunade?

Već pri prvom pogledu na ovaj problem, zasigurno znate kolika je tražena cijena limunade. Zato ćemo na ovom jednostavnijem primjeru pokazati osnovne korake u rješavanju problemskih zadataka.

1. korak - Što je nepoznato? (izbor nepoznate veličine i uvođenje nepoznanice)

Važan je korak označiti nepoznatu veličinu. Ona se vrlo često skriva u pitanju.

Kako se traži cijena jedne limunade, uvodimo nepoznanicu
cijena jedne limunade: x.

2. korak - Što je zadano? (zapis zadanih veličina preko uvedene nepoznanice)

Zapišemo zadane veličine koristeći se uvedenom nepoznanicom x.

Odgovarajućim matematičkim izrazom zapišemo cijenu četiriju limunada
cijena četiriju limunada: 4x.

3. korak - Kako glasi uvjet? (postavljanje jednadžbe)

Sljedeći je korak povezivanje poznatih i nepoznatih veličina.

Koristimo se informacijom da četiri limunade stoje 28 kuna, što zapisujemo jednadžbom
4x = 28.

4. korak - Rješavanje jednadžbe i provjera rješenja

Riješimo postavljenu jednadžbu
4x = 28 /:4
x = 7
i provjerimo rezultat (u jednostavnijem primjeru provjeru možemo napraviti napamet).

5. korak - Odgovor

Zapišemo odgovor riječima:
Cijena jedne limunade je 7 kuna.

Cijena kave

Promotrimo sada drugu jednadžbu. Zapisana svakodnevnim govorom, druga jednadžba glasi:

Dvije kave i limunada stoje 17 eura. Kolika je cijena jedne kave ako je cijena limunade 7 eura?

Primjenom navedenih koraka možemo lako odrediti cijenu jedne kave.

Na isti način samostalno odredite cijenu jednog kapučina i izračunajte koliki iznos mora platiti Markova mama za sva tri napitka.

Problemi s nepoznatim brojem

Primjer 1.

Kako se u zadatku traži broj koji zadovoljava zadane uvjete, nepoznanicu uvedemo za taj broj. Znači, nepoznati broj označimo s x, a zatim prevedemo dijelove rečenice u matematičke izraze i tako postavimo jednadžbu.

Zadatak 1.

Riješi napisanu jednadžbu iz prethodnoga primjera.
Provjeri rješenje i napiši u bilježnicu odgovor na postavljeno pitanje.

Rješavanjem postavljene jednadžbe [latex]\frac{1}{4}[/latex]x – 6 = [latex]\frac{1}{3}[/latex]x – 5 dobivamo
x = –12.

Provjera.
[latex]\frac{1}{4}\cdot[/latex] (–12) – 6 = [latex]\frac{1}{3}\cdot[/latex] (–12) – 5
–3 – 6 = –4 – 5
–9 = –9

Primjer 2.

I u ovom primjeru nepoznati broj označimo s x, a zatim pažljivo pročitamo tekst zadatka i zapišemo ga pomoću matematičkih simbola kako bismo postavili jednadžbu.

[latex]\fbox{Ako neki broj pomnožimo s 4,}[/latex] dobiveni umnožak umanjimo za 8 i tako
dobivenu razliku pomnožimo s 2, dobit ćemo jednak rezultat kao da smo
početni broj pomnožili s 3 i dodali 9.

Ako neki broj pomnožimo s 4, [latex]\fbox{dobiveni umnožak umanjimo za 8}[/latex] i tako
dobivenu razliku pomnožimo s 2, dobit ćemo jednak rezultat kao da smo
početni broj pomnožili s 3 i dodali 9.

4x – 8

Ako neki broj pomnožimo s 4, dobiveni umnožak umanjimo za 8 i tako
[latex]\fbox{dobivenu razliku pomnožimo s 2,}[/latex] dobit ćemo jednak rezultat kao da smo
početni broj pomnožili s 3 i dodali 9.

(4x – 8) [latex]\cdot[/latex] 2

Ako neki broj pomnožimo s 4, dobiveni umnožak umanjimo za 8 i tako
dobivenu razliku pomnožimo s 2, [latex]\fbox{dobit ćemo jednak rezultat kao da smo}[/latex]
početni broj pomnožili s 3 i dodali 9.

(4x – 8) [latex]\cdot[/latex] 2 =

Ako neki broj pomnožimo s 4, dobiveni umnožak umanjimo za 8 i tako
dobivenu razliku pomnožimo s 2, dobit ćemo jednak rezultat kao da smo
[latex]\fbox{početni broj pomnožili s 3}[/latex] i dodali 9.

(4x – 8) [latex]\cdot[/latex] 2 = 3x

Ako neki broj pomnožimo s 4, dobiveni umnožak umanjimo za 8 i tako
dobivenu razliku pomnožimo s 2, dobit ćemo jednak rezultat kao da smo
početni broj pomnožili s 3 i [latex]\fbox{dodali 9.}[/latex]

(4x – 8) [latex]\cdot[/latex] 2 = 3x + 9

Dakle, jednadžba zadanog problema glasi:

(4x – 8) [latex]\cdot[/latex] 2 = 3x + 9

Zadatak 2.

Riješite napisanu jednadžbu iz prethodnoga primjera i
odgovorite na postavljeno pitanje uz provjeru rješenja.

Rješavanjem postavljene jednadžbe (4x – 8) [latex]\cdot[/latex] 2 = 3x + 9 dobivamo
x = 5.

Provjera.
(4 [latex]\cdot[/latex] 5 – 8) [latex]\cdot[/latex] 2 = 3 [latex]\cdot[/latex] 5 + 9
(20 – 8) [latex]\cdot[/latex] 2 = 15 + 9
12 [latex]\cdot[/latex] 2 = 24
24 = 24

Problem s opsegom trokuta

Kako ne znamo duljinu nijedne stranice trokuta, uvest ćemo nepoznanicu ili za duljinu osnovice ili za duljinu kraka. Često nepoznanicu uvodimo za duljinu kraće stranice, u ovom slučaju za duljinu kraka. Duljinu osnovice zapisat ćemo odgovarajućim matematičkim izrazom s istom nepoznanicom.

Dakle, duljinu kraka označimo s b.

Zadatak 3.

Riješi prethodni zadatak uvodeći nepoznanicu za duljinu osnovice.
Primjerice, duljinu osnovice označi s a.

Duljinu osnovice označimo s a.

Krak će tada imati duljinu a – 3.5.

Radi lakšeg postavljanja jednadžbe, nacrtamo skicu na kojoj označimo podatke iz zadatka.

Duljina ukrasne trake oko gredice iznosi 23 m i to je opseg toga jednakokračnog trokuta.

Dakle, vrijedi:
a + 2(a – 3.5) = 23

Rješavanjem jednadžbe dobivamo:
a = 10 m (duljina osnovice)

Odavde slijedi:
a – 3.5 = 10 – 3.5 = 6.5 m (duljina kraka)

Provjera.
10 + 2 [latex]\cdot[/latex] 6.5 = 23
10 + 13 = 23
23 = 23

Problem s brojem autića

Označit ćemo broj autića jednog djeteta nepoznanicom x. Kako ne znamo broj autića nijednog djeteta, uvedemo nepoznanicu prema procjeni što će biti jednostavnije za računanje – recimo za najmanji broj autića. Broj autića ostalih zapišemo odgovarajućim matematičkim izrazima s istom nepoznanicom.

Primjerice, neka je x broj Aninih autića.

Zadatak 4.

Riješi prethodni zadatak uvodeći nepoznanicu x
za broj autića nekog drugog djeteta.

Ako označimo broj Eminih autića s x, dobit ćemo sljedeću jednadžbu problema:

[latex]x + \underbrace{x + 2}_\text{Kevin} + \underbrace{\frac{x + 2}{2}}_\text{Ana} + \underbrace{\frac{x + 2}{2} + 3}_\text{Zlatko} = 49[/latex]

Ako označimo broj Kevinovih autića s x, dobit ćemo sljedeću jednadžbu problema:

[latex]x + \underbrace{x - 2}_\text{Ema} + \underbrace{\frac{x}{2}}_\text{Ana} + \underbrace{\frac{x}{2} + 3}_\text{Zlatko} = 49[/latex]

Ako označimo broj Zlatkovih autića s x, dobit ćemo sljedeću jednadžbu problema:

[latex]x + \underbrace{x - 3}_\text{Ana} + \underbrace{2(x-3)}_\text{Kevin} + \underbrace{2(x-3) - 2}_\text{Ema} = 49[/latex]

Bez obzira na to za čiji broj autića uvedemo nepoznanicu, konačno rješenje uvijek će biti jednako.

Međutim, ovisno o izboru nepoznate veličine, razlikuju se jednadžbe problema i zato uvijek nastojimo uvesti nepoznanicu prema procjeni što će biti jednostavnije za računanje.

Pogledaj i usporedi sve četiri jednadžbe problema s brojem autića, pa procijeni u kojem smo slučaju postavili najjednostavniju jednadžbu.

Problem s brojem godina

Budući da treba izračunati koliko godina ima svaka sestra, uvodimo nepoznanicu za sadašnje godine jedne od njih dviju – recimo za mlađu sestru, a to je Zlatka. Označimo s x sadašnje godine Zlatke.

Ovo je primjer zadatka gdje nam pregledno zapisivanje podataka, primjerice u tablicu, može pomoći u razumijevanju zadatka i olakšati postavljanje jednadžbe.

	Zlatkine godine	Martinine godine
danas	x	x + 5
prije 6 godina	x – 6	x + 5 – 6 = x – 1

Zadatak 5.

Dovršite prethodni zadatak: postavite jednadžbu problema, koristeći se
podatkom o zbroju godina sestara prije 6 godina.

Riješite tu jednadžbu i odgovorite na postavljeno pitanje uz provjeru rješenja.

Zbroj njihovih godina prije 6 godina bio je 17. Vrijedi:
x – 6 + x – 1 = 17.

Rješavanjem jednadžbe dobivamo:
x = 12

Odavde slijedi:
x + 5 = 12 + 5 = 17
Zlatka ima 12 godina, a Martina 17 godina.

Provjera.
12 + 5 = 17 Martina je 5 godina starija.
(12 – 6) + (17 – 6) = 6 + 11 = 17 Prije 6 godina zajedno su imale 17 godina.