Prikaz i analiza podataka 2

Uvod

Pedagog jedne škole tijekom sjednice zabilježio je broj učenika iz dva šesta razreda koji su prethodnog tjedna izostali s nastave. Želi podatke za oba razreda ujediniti u jednu tablicu.

Pokušaj nacrtati takvu tablicu.

Prouči

Podatke iz uvodnoga primjera prikazat ćemo u tzv. skupnoj tablici jer želimo istodobno prikazati dva skupa podataka: izostanke učenika u 6.a i u 6.b razredu.

  pon uto sri čet pet
6.a 2 3 0 1 4
6.b 3 3 2 1 1

RAZMISLI...

Kako smo još mogli prikazati podatke u tablici?

  6.a 6.b
pon 2 3
uto 3 3
sri 0 2
čet 1 1
pet 4 1

Višestruki stupčasti i linijski dijagram

Kada želimo prikazati i usporediti dva skupa podataka ili više njih, možemo se koristiti višestrukim stupčastim ili višestrukim linijskim dijagramima. Za njih je, zbog korištenja više boja, potrebno napisati legendu. 

Prikažimo podatke iz uvodnoga primjera višestrukim stupcima.

Tablica prikazuje prosječne mjesečne temperature zraka u Ateni i Osijeku izražene u °C, zaokružene na cijeli broj (izvor podataka: Climate-data.org).

  sij velj ožu tra svi lip srp kol ruj lis stu pro
Atena 10 10 12 16 20 25 28 28 24 19 15 11
Osijek –1 1 6 11 16 19 21 21 17 12 6 2

Prikažite te podatke višestrukim linijskim dijagramom.

Rješenje:

Višestruki linijski dijagram Podatci su grupirani po mjesecima u godini.

Aritmetička sredina

S aritmetičkom sredinom već smo se susreli u šestom razredu. Aritmetička sredina naziva se još i prosječna vrijednost. U svakodnevnom životu često izračunavamo različite prosječne vrijednosti. Primjerice, prosječna ocjena, prosječna temperatura, prosječna potrošnja goriva...

Istraži

U sljedećoj interaktivnoj vježbi, uz problem podjele jabuka među djevojčicama, istraži značenje aritmetičke sredine i kako je izračunavamo. Koristeći se padajućim izbornikom, mijenjaj broj djevojčica te promotri izračun za različite brojeve.

U protekla četiri mjeseca Jelena je od roditelja ukupno dobila 150 kn + 200 kn + 120 kn + 180 kn = 650 kn. Zamislimo da je Jelena svakog mjeseca dobila jednak iznos džeparca. Kolika bi u tom slučaju bila visina njezina mjesečnog džeparca?

visina mjesečnog džeparca = [latex]\tfrac{650}{4}[/latex] = 162.5 kn/mj.

Dakle, broj 162.5 iznos je prosječnog džeparca, odnosno aritmetička sredina novčanih iznosa koje je Jelena dobila od roditelja u protekla četiri mjeseca. Drugim riječima, da je ukupan iznos od 650 kn ravnomjerno podijeljen na 4 mjeseca, Jelena bi svaki mjesec dobila 162.5 kn.

Nauči

Aritmetička sredina niza brojčanih podataka je broj
koji označava srednju ili prosječnu vrijednost.

Aritmetičku sredinu niza brojčanih podataka izračunavamo
tako da zbroj vrijednosti svih podataka podijelimo
s ukupnim brojem podataka.

Promotrimo još jednom prethodne primjere s džeparcem i izostancima učenika.

Jelena nijedan mjesec nije dobila džeparac jednak prosječnom džeparcu. Dva je mjeseca dobila iznos manji od prosječnog džeparca, a dva mjeseca veći od prosječnog džeparca u tom razdoblju.

U 6.a razredu u promatranom tjednu prosječno su izostala 2 učenika po danu, a upravo je toliko učenika izostalo u ponedjeljak.

Aritmetička sredina može, ali ne mora biti jednaka jednom od zadanih podataka. Aritmetička sredina uvijek je između najmanje i najveće vrijednosti promatranih podataka.

Za određivanje zbroja vrijednosti pojedinih ocjena ne trebamo zbrajati pojedinačne ocjene, primjerice 4 + 4 + ..., nego jednostavno brojčanu vrijednost pojedine ocjene pomnožimo s njezinom frekvencijom (brojem učenika). Dakle, imamo četiri četvorke čiji je zbroj 4 · 4 = 16 i tako redom. Dobivene umnoške zbrojimo te ćemo tako dobiti zbroj svih ocjena.

Taj ćemo zbroj podijeliti s ukupnim brojem ocjena i dobiti prosječnu ocjenu koju su postigli učenici tog razreda na ispitu znanja. Računski bi to izgledalo ovako:

A = [latex]\dfrac{2·5+4·4+9·3+2·2+3·1}{20}[/latex] = [latex]\dfrac{60}{20}[/latex] = 3

Prosječna ocjena razreda na ispitu znanja iz prirode je dobar (3.00).

Primijeni

U sljedećih nekoliko problemskih zadataka primijeni izračun aritmetičke sredine u malo složenijim primjerima, kao i primjerima iz svakodnevnoga života.

Učenici 6.b na ispitu iz matematike koji je imao ukupno 40 bodova postigli su sljedeće bodove:
20, 39, 34, 20, 34, 27, 11, 17, 38, 33, 27, 22, 35, 16, 33, 40, 22, 40, 35, 36.

Učiteljica je odredila postotak riješenosti potreban za pojedinu ocjenu:
najmanje 50 % ukupnog broja bodova za ocjenu dovoljan, za dobar 60 %, za vrlo dobar 80 %, a za odličan najmanje 90 % ukupnog broja bodova na ispitu.

IGRA Okrenuta igraća karta

Odredi nepoznati broj na karti, okrenutoj licem prema dolje, primjenom izračuna aritmetičke sredine. IZAZOV: pokušaj riješiti 10 zadataka bez ijedne greške!

Prikaz i analiza podataka 2

Uvod

Pedagog jedne škole tijekom sjednice je zabilježio broj učenika iz dva šesta razreda koji su prethodnog tjedna izostali s nastave. Želi podatke za oba razreda ujediniti u jednu tablicu.

Pokušaj nacrtati takvu tablicu.

Prouči

Podatke iz uvodnoga primjera prikazat ćemo u tzv. skupnoj tablici jer želimo istodobno prikazati dva skupa podataka: izostanke učenika u 6.a i u 6.b razredu.

  pon uto sri čet pet
6.a 2 3 0 1 4
6.b 3 3 2 1 1

RAZMISLI...

Kako smo još mogli prikazati podatke u tablici?

  6.a 6.b
pon 2 3
uto 3 3
sri 0 2
čet 1 1
pet 4 1

Višestruki stupčasti i linijski dijagram

Kada želimo prikazati i usporediti dva skupa podataka ili više njih, možemo se koristiti višestrukim stupčastim ili višestrukim linijskim dijagramima. Za njih je, zbog korištenja više boja, potrebno napisati legendu. 

Prikažimo podatke iz uvodnoga primjera višestrukim stupcima.

Zadatak 1.

Tablica prikazuje prosječne mjesečne temperature zraka u Ateni i Osijeku izražene u °C, zaokružene na cijeli broj (izvor podataka: Climate-data.org).

  sij velj ožu tra svi lip srp kol ruj lis stu pro
Atena 10 10 12 16 20 25 28 28 24 19 15 11
Osijek –1 1 6 11 16 19 21 21 17 12 6 2

Prikažite te podatke višestrukim linijskim dijagramom.

Rješenje:

Višestruki linijski dijagram Podatci su grupirani po mjesecima u godini.

Zadatak 2.

Aritmetička sredina

S aritmetičkom sredinom već smo se susreli u šestom razredu. Aritmetička sredina naziva se još i prosječna vrijednost. U svakodnevnom životu često izračunavamo različite prosječne vrijednosti. Primjerice, prosječna ocjena, prosječna temperatura, prosječna potrošnja goriva...

Istraži

U sljedećoj interaktivnoj vježbi, uz problem podjele jabuka među djevojčicama, istraži značenje aritmetičke sredine i kako je izračunavamo. Koristeći se padajućim izbornikom, mijenjaj broj djevojčica te promotri izračun za različite brojeve.

Primjer 1.

U protekla četiri mjeseca Jelena je od roditelja ukupno dobila 150 kn + 200 kn + 120 kn + 180 kn = 650 kn. Zamislimo da je Jelena svakog mjeseca dobila jednak iznos džeparca. Kolika bi u tom slučaju bila visina njezina mjesečnog džeparca?

visina mjesečnog džeparca = [latex]\tfrac{650}{4}[/latex] = 162.5 kn/mj.

Dakle, broj 162.5 iznos je prosječnog džeparca, odnosno aritmetička sredina novčanih iznosa koje je Jelena dobila od roditelja u protekla četiri mjeseca. Drugim riječima, da je ukupan iznos od 650 kn ravnomjerno podijeljen na 4 mjeseca, Jelena bi svaki mjesec dobila 162.5 kn.

Nauči

Aritmetička sredina niza brojčanih podataka je broj
koji označava srednju ili prosječnu vrijednost.

Aritmetičku sredinu niza brojčanih podataka izračunavamo
tako da zbroj vrijednosti svih podataka podijelimo
s ukupnim brojem podataka.

Zadatak 3.

Primjer 2.

Promotrimo još jednom prethodne primjere s džeparcem i izostancima učenika.

Jelena nijedan mjesec nije dobila džeparac jednak prosječnom džeparcu. Dva je mjeseca dobila iznos manji od prosječnoga džeparca, a dva mjeseca veći od prosječnoga džeparca u tom razdoblju.

U 6.a razredu u promatranom tjednu prosječno su izostala 2 učenika po danu, a upravo je toliko učenika izostalo u ponedjeljak.

Aritmetička sredina može, ali ne mora biti jednaka jednom od zadanih podataka. Aritmetička sredina uvijek je između najmanje i najveće vrijednosti promatranih podataka.

Zadatak 4.

Primjer 3.

Za određivanje zbroja vrijednosti pojedinih ocjena ne trebamo zbrajati pojedinačne ocjene, primjerice 4 + 4 + ..., nego jednostavno brojčanu vrijednost pojedine ocjene pomnožimo s njezinom frekvencijom (brojem učenika). Dakle, imamo četiri četvorke čiji je zbroj 4 · 4 = 16 i tako redom. Dobivene umnoške zbrojimo te ćemo tako dobiti zbroj svih ocjena.

Taj ćemo zbroj podijeliti s ukupnim brojem ocjena i dobiti prosječnu ocjenu koju su postigli učenici tog razreda na ispitu znanja. Računski bi to izgledalo ovako:

A = [latex]\dfrac{2·5+4·4+9·3+2·2+3·1}{20}[/latex] = [latex]\dfrac{60}{20}[/latex] = 3

Prosječna ocjena razreda na ispitu znanja iz prirode je dobar (3.00).

Zadatak 5.

Primijeni

U sljedećih nekoliko problemskih zadataka primijeni izračun aritmetičke sredine u malo složenijim primjerima, kao i primjerima iz svakodnevnoga života.

Zadatak 6.

Učenici 6.b na ispitu iz matematike koji je imao ukupno 40 bodova postigli su sljedeći broj bodova:
20, 39, 34, 20, 34, 27, 11, 17, 38, 33, 27, 22, 35, 16, 33, 40, 22, 40, 35, 36.

Učiteljica je odredila postotak riješenosti potreban za pojedinu ocjenu:
najmanje 50 % ukupnog broja bodova za ocjenu dovoljan, za dobar 60 %, za vrlo dobar 80 %, a za odličan najmanje 90 % ukupnoga broja bodova na ispitu.

Zadatak 7.

Sljedeći su zadatci malo zahtjevniji, ali ih možete svi pokušati riješiti. Kad ih riješite, međusobno usporedite rješenja i pomozite jedni drugima u rješavanju zadataka.

IGRA Okrenuta igraća karta

Odredi nepoznati broj na karti, okrenutoj licem prema dolje, primjenom izračuna aritmetičke sredine. IZAZOV: pokušaj riješiti 10 zadataka bez ijedne greške!